Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.
Случайные величины, как правило, обозначают через 
*, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, 
.
* Иногда используют 
, а также греческие буквы
Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:
– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.
В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина 
может принять одно из следующий значений:
.
Пример из статьи о Статистическом определении вероятности:
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
, либо 
мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта :)
Тем не менее, ваши гипотезы?
Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина 
может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.
Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:
1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.
…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.
Поехали:
Закон распределения дискретной случайной величины
– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина 
обязательно примет одно из значений 
, то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
Без комментариев.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Найти 
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах :) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.
Решение: так как случайная величина 
может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Разоблачаем «партизана»:
– таким образом, вероятность выигрыша 
условных единиц составляет 0,4.
Контроль: 
, в чём и требовалось убедиться.
Ответ: 
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:
Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины 
– размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно 
рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша 
рублей составляет:
И для 
:
Проверка: 
– и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ: искомый закон распределения выигрыша:
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна 
. Составить закон распределения случайной величины 
– количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились :) Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина 
принимает значения 
с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание 
данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины 
– количества выпавших на игральном кубике очков:
очка
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры :) Ну, может, только ради развлечения.
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины 
– его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.
Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:
Пример 5
Случайная величина 
задана своим законом распределения вероятностей:
Найти 
, если известно, что 
. Выполнить проверку.
Есть?
Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.
Решения и ответы:
Пример 3. Решение: по условию 
– вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.
Составим 
– закон распределения попаданий при двух выстрелах:
– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:
– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Ответ: 
