Данная статья является естественным продолжением урока о независимых испытаниях, на котором мы познакомились с формулой Бернулли и отработали типовые примеры по теме. Локальная и интегральная теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа) решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний. Не нужно тушеваться слов «локальная», «интегральная», «теоремы» – материал осваивается с той же лёгкостью, с какой Лаплас потрепал кучерявую голову Наполеона. Поэтому безо всяких комплексов и предварительных замечаний сразу же рассмотрим демонстрационный пример:
Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200 раз.
По характерным признакам здесь следует применить формулу Бернулли . Вспомним смысл этих букв:
– вероятность того, что в независимых испытаниях случайное событие наступит ровно раз;
– биномиальный коэффициент;
– вероятность появления события в каждом испытании;
– вероятность противоположного события.
Применительно к нашей задаче:
– общее количество испытаний;
– количество бросков, в которых должен выпасть орёл;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.
Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз: …Стоп, что делать дальше? Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами. А считать через произведение что-то не захотелось =) Воспользуемся стандартной функцией Экселя, которая сумела обработать монстра: .
Заостряю ваше внимание, что получено точное значение и такое решение вроде бы идеально. На первый взгляд. Перечислим веские контраргументы:
– во-первых, программного обеспечения может не оказаться под рукой;
– и во-вторых, решение будет смотреться нестандартно (с немалой вероятностью придётся перерешивать);
Поэтому, уважаемые читатели, в ближайшем будущем нас ждёт:
Локальная теорема Лапласа
Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:
, где .
При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению , полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях , близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы является выполнение неравенства ().
Так, например, если , то и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если и , то и приближение (к точному значению ) будет плохим.
О том, почему и об особенной функции мы поговорим на уроке о нормальном распределении вероятностей, а пока нам потребуется формально-вычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является чётность этой функции: .
Оформим официальные отношения с нашим примером:
Задача 1
Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:
а) 200 раз;
б) 225 раз.
С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:
– общее количество независимых испытаний;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.
а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: , где .
На первом шаге вычислим требуемое значение аргумента:
Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашиваются непосредственные вычисления:
Округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой.
Недостаток прямого вычисления состоит в том, что экспоненту переваривает далеко не каждый микрокалькулятор, кроме того, расчёты не особо приятны и отнимают время. Зачем так мучиться? Используйте калькулятор по терверу (пункт 4) и получайте значения моментально!
Кроме того, существует таблица значений функции , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей, в частности, в учебном пособии В.Е. Гмурмана. Закачайте, кто ещё не закачал – там вообще много полезного ;-) И обязательно научитесь пользовать таблицей (прямо сейчас!) – подходящей вычислительной техники всегда может не оказаться под рукой!
На заключительном этапе применим формулу :
– вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.
Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли.
б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:
– искомая вероятность.
Ответ:
Формула Бернулли:
где P(k) - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаний, p - вероятность появления события A при каждом испытании.