Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий 
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых 
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез 
называются апостериорными вероятностями, тогда как 
- априорными вероятностями.
Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через 
обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы:
- на линию огня вызван первый стрелок,
- на линию огня вызван второй стрелок,
- на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то 
В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:
Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.
а) Каков процент брака на конвейере?
б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: 
– взятая наудачу деталь обработана на 
-ом станке, 
.
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее:
.
А так как гипотезы образуют полную группу, то 
.
Решив полученную систему уравнений, найдем: 
.
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
,
,
.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.
