Пусть профили п1 и п2 зубьев колес 1 и 2, которые вращаются с угловыми скоростями ω1 и ω2 соприкасаются в точке контакта К, требуется определить передаточное отношение.
Скорости точки К, принадлежащих звеньям 1 и 2 вычисляют по формулам V1 = ω1O1K и V2 = ω2O2K соответственно, а направления векторов и определяют из условия движения точек К1 и К2:
V1⊥01К1 и V2⊥02К2
Проводят нормаль n-n к профилям в точке их касания и проектируют V1 и V2 на эту нормаль. Вследствие того, что передача движения от колеса 1 к колесу 2 возможна только при условии их контакта, проекции векторов V1 и V2 представляющие их нормальные составляющие, должны быть равны: V1N= V2N или ω1*O1N1= ω2*O2N2 где O1N1⊥ n-n и O2N2⊥ n-n → ω1/ ω2= O2N2/ O1N1
Так как ∆O1N1P и ∆O2N2P подобны,
O2N2 / O1N1 = О2Р / О1Р или О2Р / О1Р = ω1 / ω2 = U1/2. →
Теорему Виллиса можно сформулировать так: Если задано передаточное отношение, то профили зубьев зубчатого зацепления следует проектировать так, чтобы общая нормаль к ним, проходящая через точку К их касания, делила межосевое расстояние О1О2 = aw на отрезки О1Р и О2Р, отношение которых обратно пропорционально отношению угловых скоростей.
Точка Р пересечения нормали n-n с межосевой линией О1О2 называется полюсом зацепления. Из соотношений (6.1) и (6.3) очевидно, что точка Р совпадает с точкой касания начальных окружностей.
Соприкасающиеся профили рабочих поверхностей зубьев, построенные в соответствии с условием теоремы Виллиса называются сопряженными профилями. Из основной теоремы зацепления следует, что сопряженные профили должны располагаться так, чтобы общая нормаль в любой точке контакта проходила через полюс зацепления Р. Если это требование не выполняется, то такие профили не могут быть сопряженными.