1.1.Задачи статики.
Теоретическая механика изучает движение тел при их взаимодействии с другими телами. Под движением понимается изменение положения тела в пространстве со временем относительно некоторого другого тела, с которым связывается система отсчета. Если же положение тела не меняется, то говорят, что оно находится в покое. Равновесием же называется состояние покоя либо равномерного и прямолинейного движения. Таким образом, состояние покоя является частным случаем равномерного и прямолинейного движения. Раздел механики, изучающий условия равновесия, называется статикой.
В качестве тел рассматриваются материальные точки, абсолютно твердые тела, а также конструкции, из них состоящие. Мерой взаимодействия тел называется сила, являющаяся векторной величиной. Ее действие характеризуется модулем, направлением и точкой приложения. Введение понятия силы позволяет свести задачу о движении тела под действием приложенной к нему системы сил.
В статике решаются две основные задачи. Первая состоит в замене данной системы сил эквивалентной ей системой сил, вторая же заключается в формулировании условий равновесия тела под действием данной системы сил.
Если система сил эквивалентна одной силе, ее называют равнодействующей. Система называется уравновешенной, когда тело под ее действием находится в равновесии.
1.2. Аксиомы статики.
Статика формулируется на основе следующих аксиом.
Аксиома 1. Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, противоположно направлены и линии их действия совпадают.
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил.
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную их геометрической сумме.
Аксиома 4 (третий закон Ньютона). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, равны по модулю, противоположны по направлению и линии их действия совпадают.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то это равновесие не нарушится при замене исходного тела или его части абсолютно твердым.
Следствия аксиом
1.Точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.
2.Внутренние силы, действующие на абсолютно твердое тело, взаимно уравновешиваются.
1.3. Связи, реакции связей, аксиома связей. Тело называется свободным, если оно может совершать любое перемещение в пространстве. На движение рассматриваемого тела могут накладывать ограничения другие тела, которые называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, называется силой реакции связи. Эта сила направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться данному телу. Силы, не являющиеся реакциями связей, называют активными. Приведем типы связей, используемых в дальшейшем.
1. Гладкая поверхность (без трения). Связь не дает перемещаться телу по направлению общей нормали к соприкасающимся в точке касания поверхностям, реакция связи направлена по этой нормали.
2. Гладкая поверхность с угловой точкой (ребро). Реакция связи перпендикулярна опирающейся поверхности, поскольку вдоль этой поверхности гладкое ребро не препятствует движению.
3. Идеальная нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая). Нить не дает телу двигаться вдоль линии AB от точки подвеса. Реакция N поэтому направлена вдоль AB к точке подвеса.
4. Подвижный цилиндрический шарнир. Поскольку этот тип связи не препятствует движению в направлении поверхности опирания, то сила реакции всегда направлена по нормали к ней.
5.Неподвижный цилиндрический шарнир. В простейшем случае представляет собой болт, на который засажена втулка, жестко крепленная со связуемым телом. Сила реакции может иметь любое направление в плоскости чертежа, а поэтому ее ищут в виде взаимно перпендикулярных составляющих Nax Nay.
6.Неподвижный сферический шарнир. Тело, укрепленное при помощи сферического шарнира, может вращаться вокруг точки крепления, но ему запрещены поступательные движения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. В соответствии с этим направление реакции N не определено, и она может быть представлена тремя взаимно перпендикулярными состовляющими.
7.Идеальный стержень (жесткий, невесомый стержень, на концах которого шарниры). Такая связь не мешает конструкции перемещаться перпендикулярно стержню, поэтому сила реакции направлена вдоль него.
Аксиома 6. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие силами реакций связей.
2.Система сходящихся тел
Системой сходящихся сил (ССС) называется система сил, линии действия которых пересекается в одной точке.
2.1.Теорема о равнодействующей ССС. Система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и проходящую через точку пересечения их линий действия.
2.2.Условия равновесия ССС. Тело, на которое действует система сходящихся сил (F1,F2…,Fn), находится в равновесии, если их равнодействующая равно нулю, R=0. Геометрически условие означает, что многоугольник данных сил является замкнутым.
2.3.Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, причем линии действия двух из них пересекаются, то это система сходящихся тел.
2.4.Статически определимые и статически неопределимые задачи. Если в данной задаче число неизвестных величин не превышает числа линейно независимых уравнений равновесия, то она называется статически определимой, в противном случае – статически неопределимой.
3.Система параллельных сил
Силы, линии действия которых параллельны, образуют систему параллельных сил.
3.1.Теоремы о сложении двух параллельных сил
Теорема 1. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку C, которая делит отрезок AB внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям данных сил.
Теорема 2. Система двух не равных по модулю сил, линии действия которых параллельны, но силы направлены противоположно, имеет равнодействующую, которая равна по модулю разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку C, которая лежит на продолжении отрезка AB и делит его внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям сил.
3.2.Центр системы параллельных сил. Равнодействующая системы n параллельных сил (P1,…,Pn), направленных в одну сторону, равна их сумме и приложена в точке C, определяемая радиус-вектором. Точка C называется центром параллельных сил. Если повернуть данные силы на один и тот же угол, сохраняя их точки приложения, то и равнодействующую этих сил повернется на тот же угол, причем положение центра параллельных сил не изменится.
3.3.Центр тяжести и методы его определения. Точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующая на тело, называется центром тяжести тела.
1.Метод симметрии. Если однородное тело имеет плоскость или ось симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии. Если же тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести находится в этом центре.
2.Метод разбиений. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то центр тяжести всего тела определяется по формуле.
2.Метод дополнений (отрицательных весов). Этот метод является частным случаем метода разбиений. Он применяется к телам, имеющим вырезы.
3.4. Распределенные силы. Силу, приложенную в точке, называют сосредоточенной. Силы же, распределенные по определенному закону по некоторому объему, поверхности или линии, называют распределенными (распределенными нагрузками). Если распределенная нагрузка представляет собой систему параллельных сил, то определение ее равнодействующей проводится так же, как и для силы тяжести. В частности, если сила равномерно с интенсивностью q распределена вдоль отрезка прямой AB=L , то ее равнодействующая равна Q=qL и приложена в середине отрезка AB. Если силы распределены по линейному закону так, что основание снова равно AB=L, то Q=qL/2, а приложена она на расстоянии L/3 от конца B.
4.Момент силы относительно точки и оси
4.1. Момент силы относительно точки. Моментом силы F относительно точки О называется вектором Mo(F), равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы и самой силы
4.2. Теорема Вариньона. Момент равнодействующей системы сил относительно произвольной точки О равен векторной сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки.
4.3.Момент силы относительно оси. Моментом силы F относительно оси Оz называется скалярная величина, равная алгебраическому моменту проекции Fxy этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Знак «плюс» берется, если с положительной стороны оси Оz вращение, которое сила Fxy стремится совершить, видно происходящим против хода часовой стрелки, а знак «минус»- в противном случае.
Теорема. Моменты сил относительно осей в системе координат Oxzy равны проекциям момента силы относительно начала координат О.
Момент относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси (Fxy=0), или линия действия силы пересекает ось (h=0).
5.Пара сил
5.1.Пара сил, момент пары. Система двух сил F1 и F2, равных по величине и противоположных по направлению, линия действия которых не совпадают, называется парой сил. Пара сил не имеет равнодействующей. Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Моментом пары называется вектор М, модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары M=Fd.Направлен этот вектор перпендикулярно плоскости действия пары в сторону, откуда вращение пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Момент пары можно еще определить как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Для пар сил, расположенных в одной плоскости, как и для обычных сил, часто используют понятие алгебраического момента пары M=+-Fd. Знак плюс берется, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, минус- по ходу.
5.2. Теорема об эквивалентности пар. Все пары сил, имеющие один и тот же момент, эквивалентны.
Из этой теоремы следует, что пара сил полностью определяется ее моментом. Располагать пару сил в пространстве можно в любом месте.
5.3. Теорема о сложении пар. Действие на тело системы пар моментов M1, M2,… Mn эквивалентно действию одной пары с моментом.
5.4.Жесткая заделка. Так называется связь которая возникает, например, если один конец балки жестко зацементировать неподвижно в стенку. Этот тип связи не позволяет вообще как-либо двигаться закрепленному телу. Поэтому реакция связи не позволяет вообще как-либо двигаться закрепленному телу. Поэтому реакция связи- сила и пара сил. Для плоской системы сил полная реакция жесткой заделки складывается из силы N с составляющими Nx, Ny и момента жесткой заделки mA относительно места заделки А.
6.Приведение произвольной системы сил к центру
6.1.Лемма о параллельном переносе силы. Силу F, приложенную в точке А твердого тела, можно перенести параллельно в точку В, добавив при этом пару сил, момент которой равен моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.
6.2.Главный вектор и главный момент. Главным вектором сил (F1,…,Fn) называется вектор, равный их сумме. Главным моментом этой системы сил относительно точки А называется вектор, равный сумме их моментов этой же точки.
6.3.Основная теория статики. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить ее главным вектором, приложенным в произвольно выбранной точке (центре произведения), и парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно этой точки.
6.4.Частные случаи приведения. Согласно теореме 6.3. произвольная система сил может быть эквивалентно заменена одной силой (главным вектором) и парой (главным моментом).Здесь возможны следующие частные случаи.
1. Если R равен нулю, Мо равен нулю, то система сил уравновешена и тело находится в равновесии.
2. Если R не равен нулю, Мо равен нулю, то система сил приводится к равнодействующей, проходящей через точку О.
3. Если R равен нулю, Мо не равен нулю, то система сил приводится к паре с моментом Мо и главные моменты сил относительно любых точек равны.
4.Если R не равен нулю, Мо не равен нулю, но R перпендикулярно Мо, то система сил также приводится к равнодействующей.
5. Если R не равен нулю, Мо не равен нулю, но R параллельно Мо, то такая совокупность силы и пары сил называется динамой, а прямая, вдоль которой направлены векторы,- осью динамы. Главный момент сил принимает наименьшее значение на оси динамы.
6.В общем случае, когда R не равен Мо не равно нулю, но векторы Mо и R не перпендикулярны и не параллельны, система сил также приводится к силовой динаме. Если произвольная система сил не уравновешенна, то она сводиться либо к паре сил, либо к равнодействующей, либо к динаме.
6.7.Равновесие составной конструкции. При рассмотрении равновесия конструкции можно, освободившись от связей, рассмотреть равновесие каждого из тел и составить для них уравнения равновесия. В эти уравнения наряду с активными силами войдут также и силы реакций внешних и внутренних связей. Если общее число независимых уравнений больше или равно общему числу неизвестных задачи, то такая конструкция будет статически определимой. Можно также, используя аксиому 5 (принцип отвердевания), рассмотреть равновесие всей конструкции либо какой-нибудь ее части. При составлении уравнений равновесия следует иметь ввиду, что силы реакций внутренней связи, соединяющей два элемента конструкции, действующие на каждый из элементов, согласно аксиоме 4, равны по величине и противоположно направлены.
7.Равновесие при наличии трения
Сила реакции шероховатой поверхности R=N+F складывается из силы нормальной реакции N и перпендикулярной к ней силы трения F. Сила трения может действовать как на покоящееся, так и на движущееся тело. В связи с этим различают трение покоя и трение скольжения. Сила трения покоя F может принимать любые значения от нуля до некоторого максимального, называемого предельной силой трения покоя. Направлена F в сторону противоположную той, куда действующие активные силы стремятся сдвинуть тело. Предельная сила трения пропорциональна нормальной составляющей силы реакции N шероховатой поверхности (закон Кулона). Коэффициент трения покоя f (статический коэффициент трения) определяется лишь свойствами материалов соприкасающихся тел и не зависит от площади контакта этих тел. При решении задач с учетом трения покоя важно определить вначале, какое равновесие рассматривается- предельное или не предельное. Если равновесие предельное, то из двух неизвестных величин N и F в силу связи F=fN остается только одна. Если же равновесие непредельное, то обе эти величины неизвестны, а неравенство F меньше или равно fN является необходимым условием равновесия.
Сила трения скольжения также определяется законом Кулона, однако коэффициент трения скольжения обычно существенно меньше коэффициента трения покоя.
8.Рекомендации у решению задач статики
1.Необходимо установить, равновесие какого тела следует рассмотреть.
2.Освободить исследуемое тело от связей и изобразить действующее на него активные силы реакций отброшенных связей.
3. Установить какая система сил действует на тело, и сформулировать условия равновесия этой системы.
4. Составить уравнения равновесия.
5.Если тел несколько, то следует рассмотреть другие тела, исходя из того чтобы в конечном счете общее число уравнений и неизвестных совпадало.
6.Решить уравнения равновесия и определить тем самым искомые величины.
