22. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀+b₀=1·10+с₀, где с₀ - однозначное число; записывают с₀, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Замечание.В этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

 в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b₀>а₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀числоb₀и записываем разность в разряде единиц ис­комого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

 в общем видеалгоритм умножения многозначного числа  на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁+с₀, где с₀– однозначноечисло; записываем с₀в разряд единиц ответа и запоминаемq₁- перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению числоq₁и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число bявляется следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = b, то частноеq= 1, остатокr= 0.

2. Если а>bи число разрядов в числах а иbодинаково, то частноеqнаходим перебором, последовательно умножаяbна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а<10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а иb.

3. Если а>bи число разрядов в числе а больше, чем в числеb, то записываем делимое а и справа от него делительb, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе bили, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали числоd₁, больше или равноеb. Перебором находим частноеq₁чиселd₁, иb, последовательно умножаяbна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываемq₁под уголком (нижеb).

б) Умножаем bнаq₁, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числаbq₁был написан под младшим разрядом выделенного числаd₁.

в) Проводим черту под bq₁и находим разностьr₁=d₁-bq₁.

г) Записываем разность r₁, под числомbq₁, приписываем справа кr₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравни­ваем полученное числоd₂с числомb.

д) Если полученное число d₂больше или равноb, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частноеq₂ записываем послеq₁.

е) Если полученное число d₂меньшеb, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое числоd₃, большее или равноеb. В этом случае записываем послеq₁ то же число нулей. Затем относительноd₃поступаем согласно пп. 1, 2. Частноеq₂записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, чтоd₃<b, то тогда частное чиселd₃иbравно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остатокr=d₃.