17. Понятие положительной натуральной величины и ее измерение.

Величины представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты, масса яблок и масса зерна, стоимость карандашей и стоимость крупы и т.п.

Такие величины обладают рядом свойств:

1. Любые величины одного рода сравнимы: a > b, a < b, a = b. Например, длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше длины катета.

2. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода: a + b = c, например, если a – масса яблок, b – масса груш, то с = а + b – общая масса указанных фруктов.

3. Величины одного и того же рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение: разностью величин а и b называется величина с = а – b такая, что а = с + b. Например, если а – масса овощей, из которых огурцы имеют массу b, то масса моркови определится как a – b = c.

4. Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода: b = xa, величину b называют произведением величины а на число х. Например, если а – время отводимое на один урок, то, умножив а на 3 получим b = 3a – время трех уроков.

5. Величины одного рода делят, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число: частным величин а и b называется положительное действительное число х = а : b, что а = х  b. Например, если а – длина отрезка АВ, и отрезок АВ состоит из 4 отрезков, равных b, то а : b = 4.

Измерения велечины

Если задана величина а и выбрана единица величины е (того же рода), то измерить величину а – значит найти такое положительное число х, что      а = хе. Число х называется численным значением величины а при единице е или мерой величины а при единице е: х = m(a). Например, 7 кг = 71 кг.

Используя выше перечисленные свойства, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

Пусть, например, требуется выразить  ч в минутах. Так как  ч =  1 ч  и 1 ч = 60 мин, то  ч =    (60   1 мин) = ( 60)  1 мин = 25 мин.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной. Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Так, например, если величины а и b измерены при помощи единицы е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

a = b m(a) = m(b);

a < b m(a) < m(b);

a > b  m(a) > m(b).

Например, если массы двух тел таковы, что а = 5 кг, b = 3 кг, то можно утверждать, что a > b, поскольку 5 > 3.

Далее, выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка.