14. Системы счисления.

Система счисления (СС)-это совокупность приёмов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Алфавит СС - набор символов(цифр), используемых для записи числа.
Основание СС (мощность алфавита СС) - количество символов(цифр) алфавита СС.

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления - это система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX "вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления это система, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Основание системы счисления количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления 
Основание системы счисления определяет её название: основание p - p-ая система счисления.
Например, система счисления в основном, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой, её основание равно десяти. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

Развернутая запись числа
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде многочлена от p: 
N=a_k p^k + a_k-1 p^k-1+a_k-2 p^k-2+...+a₁ p¹+a₀ p⁰+a_-1 p^-1+a_-2 p^-2+..., 
где N - число, p - основание системы счисления (p>1), a_i - цифры числа (коэффициенты при степени p).
Числа в p-ой системе счисления записываются в виде последовательности цифр: 
N=a_k a_k-1 a_k-2 ...a₁ a_{0 ,}a_-1 a_-2... 
Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной. 
_{3210 -1-2} 
N=4567,12₁₀=4*10³+5*10²+6*10¹+7*10⁰+1*10^-1+2*10^-2

Двоичная система счисления

Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы для использования в компьютере объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ. 
В этой системе счисления любое число может быть представлено в виде:
N=a_k 2^k + a_k-1 2^k-1+a_k-2 2^k-2+...+a₁ 2¹+a₀ 2⁰+a_-1 2^-1+a_-2 2^-2+.... 
Например:11001,01₂=1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2(развернутая запись числа в двоичной системе счисления)

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Это система счисления в ЭВМ используется как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используют три двоичных разряда (триада : см. таблицу
Развернутая запись числа в восьмеричной системе счисления:
537₈=5*8²+3*8¹+7*8⁰

Шестнадцатеричная система счисления

Для обозначения цифр в шестнадцатеричной системе счисления используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Эта система счисления, так же, как и восьмеричная система, используется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одного символа шестнадцатеричной системы используют четыре двоичных разряда (тетрада): см. таблицу 
Развернутая запись числа в восьмеричной системе счисления:
A2F,4₁₆=A*16²+2*16¹+F*16⁰+4*16^-1