8. Текстовые задачи. Методы решения текстовых задач.

Определение текстовой задачи.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовы­ми {сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Пере­численные названия берут начало от способа записи (задача пред­ставлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанав­ливаются количественные отношения между значениями некото­рых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».

Текстовой задачей как правило, называется описание некоторой ситуа­ции (явления, процесса) на естественном и (или) математиче­ском языке с требованием либо дать количественную характерис­тику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значени­ям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компо­нентами или определить вид этого отношения, либо найти после­довательность требуемых действий.

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуа­ции, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование за­дачи.

Виды текстовых задач.

Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном раз­личии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:

1. задачи на тройное правило;

2. задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

3. задачи на пропорциональное деление;

4. задачи на исключение одного из неизвестных;

5. задачи на среднее арифметическое;

6. задачи на проценты и части;

7. задачи на движение;

8. задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом», и т.д.

Можно рассмотреть и следующую классификацию задач: задачи на движение, задачи на работу, задачи на проценты и части, задачи на концентрацию, логические задачи и т.д.

Методы решения текстовых задач.

Существуют различные методы решения текстовых задач: ариф­метический, алгебраический, геометрический, логический, прак­тический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраи­ческом методе решения задачи составляются уравнения или нера­венства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных мо­делей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совер­шенно разные уравнения, используя логический метод — постро­ив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, кото­рые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим мето­дом — значит найти ответ на требование задачи посредством вы­полнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифмети­ческими способами. Задача считается решенной различными спо­собами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последователь­ностью использования этих связей.

Алгебраический метод.Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими спосо­бами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат раз­личные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометричес­кие построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способа­ми. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.

Задача: Из двух городов Аи В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20км/ч, второго — 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение:

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой от­резок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между города­ми. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каж­дым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т.д. (рис. 1.1, а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали — расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Построим графики, характеризующие дви­жение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго — у = 250 – 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис. 1.1, б). Из черте­жа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоя­нии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения — отрезком OS (рис. 1.1, в). Тогда пло­щадь S прямоугольника OSO1Т (она равна OS∙ОТ) соответствует расстоя­нию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 • ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч. Ответ: через 5 ч.

в

Логический метод.Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выпол­няя вычислений, а только используя логические рассуждения. При­мерами таких задач могут служить задачи «на переправы», класси­ческим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

Практический метод.Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требование задачи, выполнив практичес­кие действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько мето­дов: алгебраический и арифметический; геометрический, ал­гебраический и арифметический; арифметический и практиче­ский и т.п. В этом случае считают, что задача решается комбиниро­ванным (смешанным) методом.Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.