Для задания множества существуют различные способы. Множество считают заданным, если о каждом элементе можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет.
Задание множества с использованием общепринятых обозначений. Для числовых множеств имеем: – множество натуральных чисел;
– множество целых чисел;
– множество рациональных чисел; – множество действительных чисел;
– множество комплексных чисел.
Задание множества перечислением его элементов.Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде
.
Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр.
Задание множества с помощью характеристического свойства его элементов.Характеристическое свойство – это свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Этот способ применим для конечных и бесконечных множеств.
Пусть 
– утверждение, заключающееся в том, что элемент обладает свойством
. Тогда запись
означает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством .
Например, отрезок [0, 1] действительной прямой можно определить следующим образом
.
Рекурсивное задание множества.Этот способ заключается в следующем:
1. Указываются некоторые исходные элементы, входящие в множество.
2. Описывается механизм, позволяющий получить новые элементы из имеющихся.
3. Объявляется, что в множестве нет никаких других объектов кроме тех, которые можно получить из исходных, применяя описанный в п. 2 механизм.
Например, множество 
можно задать рекурсивно:
1. 
.
2. 
.
3. – наименьшее подмножество натурального ряда, удовлетворяющее условиям 1 и 2.
Условие 3 определяет как пересечение всех множеств, удовлетворяющих условиям 1 и 2.
В дальнейшем при рекурсивном задании множеств последний пункт, как правило, не указывается, но всякий раз это требование подразумевается.
В качестве еще одного примера рекурсивного задания множества определим совокупность всех слов в данном алфавите.
Пусть 
– произвольное конечное множество, элементы которого будем называть буквами, а само множество алфавитом. Элементы определяемого множества
будем называть словами.
1. Каждая буква является словом: 
,
1, 2, …,
.
2. Результат приписывания к слову любой буквы является словом:
…, 
.
Например, если 
, то содержит следующие элементы:
0, 1 (согласно 1);
00, 01, 10, 11 (согласно 2);
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (согласно 2) и так далее.
Теория множеств, рассматриваемая без ограничений на способы задания множеств, называется наивной теорией множеств. В этой теории еще при жизни ее создателя Г. Кантора были обнаружены многочисленные парадоксы. Приведем один из известных парадоксов Б. Рассела, открытый им в 1903 г.
Пусть 
– множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли множество само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом – противоречие. Если нет – то, по определению , оно должно быть элементом – вновь противоречие.
Этот парадокс имеет много популярных формулировок. Приведем некоторые из них.
-
Одному полковому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как он должен поступить с собой?
-
В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?
-
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
Для преодоления противоречий в наивной теории множеств было предложено несколько возможных ее аксиоматизаций, в рамках которых утверждение о существовании множества всех множествбыло бы невыводимым.
