Множества и операции над ними

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами $A,\ B,\ C,\ldots$ , а элементы множества строчными латинскими буквами $a,\ b,\ c,\ldots$ .

Запись

$A=\{a,b,\ldots: F(a,b,\ldots)=0\}$ означает, что есть множество $ A$ с элементами $a,b,\ldots$ , которые связаны между собой какой-то функцией $F(a,b,\ldots)=0$ .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

Принадлежность элемента множеству:

$\displaystyle a\in A,$

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).
Непринадлежность элемента множеству:

$\displaystyle a\not\in A,$

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).
Объединение множеств: $A\bigcup B$ .
Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

$\displaystyle C = A\bigcup B = \{c:c\in A\$ или $\displaystyle \ c\in B\}.$
Пересечение множеств: $A\bigcap B$ .
Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

$\displaystyle C = A\bigcap B = \{c:c\in A\$ и $\displaystyle \ c\in B\}.$
Разность множеств: $A \setminus B$ .
Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

$\displaystyle C = A \setminus B = \{c:c\in A\$ и $\displaystyle \ c\not\in B\}.$
Симметрическая разность множеств: $A \bigtriangleup B = (A\setminus B)\bigcup(B\setminus A)$ .
Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

$\displaystyle C= A \bigtriangleup B = \left\{c:c\in \left(A\bigcup B\right)\ \mbox{и}\ c\not\in \left(A \bigcap B\right)\right\}.$
Дополнение множества: $C_uA=\bar{A}$ .
Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

$\displaystyle C_uA=\bar{A} = U\setminus A \equiv \{a: a\in U\$ и $\displaystyle \ a\not\in A \}.$
Вхождение одного множества в другое множество: $A \subset B$ .
Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).
Не вхождение одного множества в другое множество: $A \not\subset B$ .
Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

.