Вопрос16.Гармонические колебания

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания   Колебания, при которых физическая величина изменяется стечением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой — синусоидой или косинусоидой ; они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х = Acos (ωt + φ), где х — значение колеблющейся величины в данный момент времени t (для механических Г. к., например, смещениеили скорость, для электрических Г. к. — напряжение или сила тока), А — амплитуда колебаний, ω — угловаячастота колебаний, (ω + φ) — фаза колебаний, φ — начальная фаза колебаний. Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения точки по времени (за основу возьмем второе из пары уравнений (1.1)): . (1.4)                       Здесь max = Aω0-максимальнаяскорость,илиамплитуда скорости. Ускорение – это втоpая пpоизводная от смещения точки по времени: (1.5) где amax = Aω02 -максимальное ускорение, или амплитуда ускорения. Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение, скорость и ускорение не совпадают по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени, когда смещение максимально, скоpость pавна нулю, а ускоpение пpинимает максимальное отpицательное значение. Смещение и ускоpение находятся впpотивофазе- так говоpят, когда pазность фаз pавна. Ускоpение всегда напpавлено в стоpону, пpотивоположную смещению.  Полная энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энеpгий колеблющейся точки: W = Wк + Wп = m 2 / 2 + kx2 / 2. Подставим в это выражение формулы (1.4) и (1.1) с учетом k = mω02(как будет показано ниже), получим W = k A2 / 2 =m A2 ω02 /2. (1.6) Из сопоставления графиков функций х(t), Wк(t) и Wп(t) (рис.1.3) видно, что частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний смещения. Cреднее значение потенциальной и кинетической энергии за периодТравно половине полной энергии (рис. 1.3): Метод векторных диаграмм для сложения колебаний Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Этот метод основан на представлении гармонического колебания в виде вектора, модуль которого равен амплитуде колебания, а направление образует с осью   угол, равный фазе колебания (рис.1). Проекция этого вектора на ось   равна значению  . Векторная диаграмма всегда строится для какого-то одного момента времени. Рис.1. Представление гармонического колебания в виде вектора (метод векторных диаграмм)Сложение колебаний одинакового направленияРассмотрим сложение колебаний одинакового направления. Пусть складываются два гармонических колебания с различными параметрами, направленные вдоль одной прямой:Где Пользуясь методом векторных диаграмм, представим эти колебания с помощью векторов   и   (рис.2). Рис.2. Сложение колебаний одинакового направления