Этапы введения величины «площадь фигуры»
1 этап. Пусть W - множество плоских геометрических фигур, которые имеют внутреннюю область и замкнутую границу.
2 этап. На W зададим бинарное отношение t.
("M1,M2ÎW)M1tM2 <=> «при наложении фигуры M1 и M2 совпадают».
В этом случае фигуры M1 и M2 будем называть равными. Данное отношение является отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и транзитивно одновременно.
3 этап. Отношение t разбивает множество W на классы эквивалентности.
1) каждый класс не пуст (в нем есть хотя бы одна фигура);
2) классы эквивалентности не пересекаются;
3) каждый класс состоит только из тех фигур, которые совпадают при наложении, т.е. из равных;
4) объединение всех классов равно исходному множеству W.
4 этап. На W введем бинарную операцию «состоять из».
Фигура М состоит из фигур М1 и М2 , если М = М1 È М2 с точки зрения точечных множеств, и фигуры М1 и М2 не имеют при этом общих внутренних точек, но имеют общие граничные точки.
Например, допустим М = М1 È М2
1) 3)
М1 М2 М1 М2
М = М1 Å М2 М = М1 Å М2
2) 4)
М1 М2 М1 М2
М ¹ М1 Å М2 М ¹ М1 Å М2
5 этап. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие величину, называемую площадью фигуры данного класса.
Обозначим S(M) – площадь фигуры М.
Из пяти приведенных этапов следует:
1. Каждая фигура имеет площадь.
2. Равные фигуры имеют равные площади.
Так как площадь фигуры - положительная скалярная величина, то она подчиняется всем аксиомам положительных скалярных величин.
Аксиома 1.
Площади любых двух фигур А и В можно сравнить (наложением). В результате получим одно из трех утверждений:
1) S(A)=S(B); 2) S(A)<S(B) 3) S(A)>S(B),
где S(A)- площадь фигуры А, S(B)- площадь фигуры B.
Аксиома 2
Площади любых двух фигур можно складывать. В результате получим площадь новой фигуры.
|
|
Если S(A)- площадь фигуры А,
S(B)- площадь фигуры B, то S(A) + S(B) = S(AÅВ).
AÅВ
Аксиома 3
Из площади большей фигуры можно вычесть площадь меньшей фигуры. В результате получим площадь новой фигуры.
A= СÅВ
А
S(A) - S(B) = S(С), т.е. получим площадь фигуры С такой, что A = СÅВ.
Аксиома 4
Площадь любой фигуры можно умножить на положительное действительное число. В результате получим площадь новой фигуры.
|
|
|
|
S(A) × 4 = S(В)
В
Аксиома 5
Площадь любой фигуры можно разделить на площадь другой фигуры. В результате получим положительное действительное число.
|
|
|
S(A): S(В) = 6
А
- Процесс измерения площади фигуры
Допустим, нужно измерить площадь фигуры М.
М
Выберем произвольный квадрат Е и назовем его единичным.
Квадрат Е, как и все остальные, имеет площадь. Площади единичного квадрата Е поставим в соответствие положительное действительное число 1. Записывают: S(Е) ® 1 или mЕ(Е)=1 (мера площади фигуры Е при единице измерения Е равна 1).
Выясним, из скольких квадратов Е состоит фигура М. Для этого разделим площадь фигуры М на площадь квадрата Е. При этом могут получиться различные случаи:
Случай 1. Фигура М состоит из целого числа квадратов Е.
Тогда mЕ(М)Î N. Можно записать: S(M)® 9 или mЕ(М) = 9. Процесс измерения закончен.
Случай 2. Фигура М не состоит из целого числа квадратов Е.
Тогда mЕ(М)Ï N. Получили, что площадь фигуры М больше площади фигуры, состоящей из 9 квадратов Е. Можно оценить приближенно по недостатку: 9 < mЕ(M).
В этом случае необходимо перейти к новой единице измерения Е1, которая представляет собой квадрат, сторона которого составляет десятую долю стороны квадрата Е.
Но тогда Е1 Å Е1 Å ... Å Е1 = Е Е1 = Е
100 слагаемых
|
Подсчитаем, из скольких квадратов Е1 состоит фигура М. Опять могут получиться различные случаи.
Таким образом, в общем случае:
- Если фигура М состоит из целого числа квадратов Е, то мера площади фигуры М при единице измерения Е выражается натуральным числом. Например, mЕ(М)=9. Если этого не произошло, то выбрать новую единицу площади и продолжать процесс измерения.
- Если фигура М состоит из целого числа некоторых 102n-долей единичного квадрата Е, то мера площади фигуры М выражается конечной десятичной дробью, которую определяют с помощью свойства мультипликативности меры. Например, mЕ(М)=5,34.
- Если фигура М не состоит из целого числа никаких 102n - долей единичного квадрата Е, то процесс измерения бесконечен, и мера площади фигуры М при единице измерения Е выражается бесконечной десятичной дробью. Например, mЕ(М)=5,45276468....
- Фигуры А и В называются равными если они совпадают при наложении.
- Фигуры А и В называются равновеликими если их площади равны.
- Фигуры А и В называются равносоставленными, если они равны объединению одних и тех же фигур.
Например, на рисунке фигуры А и Г – равные, все фигуры А, Б, В, Г – равновеликие (S=5 кв.ед.), все фигуры А, Б, В, Г – равносоставленные.
Способы измерения площади фигуры
Измерить площадь фигуры – это значит узнать, из скольких единичных квадратов состоит эта фигура.
- Прямой способ – путем непосредственного подсчета единичных квадратов, из которых состоит измеряемая фигура.
Например, mE (F) = 6.
F
Часто для измерения площади фигуры (рис. 1а) используют так называемую палетку. Палетка представляет собой прозрачный лист бумаги с нанесенной сеткой из единичных квадратов (в начальной школе - со стороной 1 см). На измеряемую фигуру накладывается палетка, затем считаются полные единичные квадраты - p, накрывающие фигуру, и неполные – np (рис. 1б).
|
Рис. 1а |
Рис. 1б |
Далее используют формулу:
S = p +
Например, определим площадь фигуры, изображенной на рис. 2.
Рис. 2
На измеряемую фигуру накладываем палетку, затем считаем полные единичные квадраты – p=15 (рис. 3а), накрывающие фигуру, и неполные – np =18 (рис. 3б).
|
Рис. 3а |
Рис.3б |
Далее используем формулу: S = p + = 15 + = 15 + 9 = 24 кв.ед.
В начальной школе, если получается np – нечетное число, его заменяют ближайшим большим четным числом. Например, если получили np = 13, то в формулу вместо np следует подставлять 14.
2. Косвенный способ – с помощью специальных формул. Например, Sпрямоуг.= ab, где a и b – длины смежных сторон прямоугольника.
