1.1. Этапы введения величины «длина отрезка»
Введем положительную скалярную величину «длина отрезка».
1 этап
Пусть W - множество отрезков некоторой плоскости.
2 этап
На множестве W зададим отношение t : a t b<=> «при наложении отрезки a и b совпадают». В этом случае будем говорить, что отрезки a и b равны.
3 этап
Заданное отношение t является отношением эквивалентности на W (отношение t обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности). Тогда отношение t разбивает множество W на классы эквивалентности, причем:
1) каждый класс не пуст (в нем есть хотя бы один отрезок);
2) классы эквивалентности не пересекаются;
3) в один класс входят отрезки, которые совпадают при наложении, т.е. равные;
4) объединение всех классов дает исходное множество W.
4 этап
На множестве W введем бинарную операцию Å - «состоять из» следующим образом: отрезок с состоит из отрезков a и b, если он является их объединением с точки зрения точечных множеств, причем отрезки a и b лежат на одной прямой и не имеют общих внутренних точек, но имеют одну общую граничную точку.
Примеры:
5 этап
Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие единственный образ - положительную скалярную величину «длина». Обозначим l(a) – длина отрезка а.
Каждому отрезку данного класса будет соответствовать величина «длина» одна и та же.
Из пяти приведенных этапов следует вывод:
1. Каждый отрезок имеет длину.
2. Равные отрезки имеют равные длины.
Так как длина отрезка - положительная скалярная величина, то она подчиняется аксиомам положительных скалярных величин.
Аксиома 1
Длины любых двух отрезков a и b можно сравнить (наложением). В результате получается одно из трех утверждений:
1) l(a)=l(b)
2) l(a)<l(b)
3) l(a)>l(b), где l(a)- длина отрезка a, l(b)- длина отрезка b.
Длина отрезка а меньше длины отрезка b, если при наложении отрезок а умещается в отрезке b всеми своими точками и обратное неверно.
Аксиома 2
Длины любых отрезков можно складывать. В результате получим длину нового отрезка.
Если l(b)-длина отрезка b, l(c)-длина отрезка c, l(a) – длина отрезка a, такого, что
a= b Å c. Тогда l(b) + l(c) = l(a) .
Аксиома 3
Из длины большего отрезка можно вычесть длину меньшего отрезка. В результате получим длину нового отрезка.
l(a) - l(b) = l(c), т.е. получим длину отрезка с, такого, что a= b Å c.
Аксиома 4
Длину любого отрезка можно умножить на положительное действительное число. В результате получим длину нового отрезка.
l(a)× 4 = l(c)
Аксиома 5
Длину одного отрезка можно разделить на длину другого отрезка. В результате получим положительное действительное число.
l(c): l(a) = 4
Процесс измерения длины отрезка
Допустим, нужно измерить длину отрезка а.
Выберем произвольный отрезок е и назовем его единичным. Отрезок е, как и все остальные, имеет длину. Длине единичного отрезка е поставим в соответствие положительное действительное число 1.
Записывают: l(e)® 1 или mе(е)=1 (мера длины отрезка е при единице измерения е равна 1).
Узнаем, из скольких единичных отрезков е состоит отрезок а. Для этого разделим длину отрезка а на длину отрезка е. При этом могут получиться различные случаи.
Случай 1
Отрезок а состоит из целого числа отрезков е.
Тогда mе(а)Î N. Можно записать: mе(а) = 5 или l(a)® 5. Процесс измерения закончен.
Случай 2
Отрезок а не состоит из целого числа отрезков е.
Тогда mе(а)ÏN. Получили, что длина отрезка а больше длины отрезка, состоящего из 5 отрезков е, и меньше длины отрезка, состоящего из 6 отрезков е. Можно оценить приближенно по недостатку и по избытку: 5 < mе(a) < 6.
В этом случае необходимо перейти к новой единице измерения е1, которая представляет собой десятую долю отрезка е.
е1 Å е1 Å ... Å е1 = е е1 = е
10 слагаемых
l(e1)® mе(e1)=
