Понятие «задача на построение». Этапы решения задач на построение.
Задачей на построение называется предложение, указывающее по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку, прямую, окружность и т.д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям.
Основные средства построения - циркуль и линейка. Линейка считается односторонней (делений на ней нет и наносить их нельзя).
Этапы:
Анализ: Предположить, что задача решена, сделать примерный чертеж искомой фигуры, отметить те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараться определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи.
Построение: Описать способ построения.
Доказательство: Доказать, что множество точек, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством точек.
Исследование: Выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.
Задача 2: Построить треугольник по трем заданным сторонам.
|
Дано: |
Отрезки a, b, c (рис. 1). |
|
|
Построить: |
|
|
Этап 1. Анализ |
||||
|
Предположим, что задача решена и искомый треугольник построен (рис. 3). - При помощи линейки всегда можно провести произвольную прямую d и отметить на ней произвольную точку В. - Вершина С находится на пересечении прямой d и множества точек, удаленных на расстояние ВС=а от точки В (окружности с центром в точке В и радиусом а). - Вершина А находится на пересечении множеств точек, удаленных на расстояние АС=b от точки С (окружности с центром в точке С и радиусом b), и множества точек, удаленных на расстояние ВА=c от точки В (окружность с центром в точке В радиусом c). |
||||
|
Этап 2. Построение |
||||
|
Выполняемое действие |
Чертеж |
|||
|
1 |
d – произвольная прямая; ВÎd (рис. 4). |
|||
|
2 |
w(B, a); w(B, a)Ç d = { C } (рис. 5). |
|||
|
3 |
w(B, с), w(С, b); w(B, с) Ç w(С, b) = { A, М } (рис. 6). |
|||
|
4 |
[CA], [BA];
|
|||
|
Этап 3. Доказательство |
||||
|
Построенный D ABC – искомый, так как его стороны по построению равны а, b и с (рис. 7). |
||||
|
Этап 4. Исследование |
||||
|
Задача имеет два решения, так как w(B, с) Ç w(С, b) = { A, М } (рис. 8). [CM], [BM]. D ABC = D МBC (по трем сторонам). Следовательно, D МBC – так же удовлетворяет требованиям задачи. Данная задача не всегда имеет решение. В треугольнике каждая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон. Поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, например, a > b + c, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам (окружности с центрами в точках В и С не пересекутся (рис. 9). |
||||
