В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью элементарных алгебраических операций преобразуется в верхнюю (нижнюю) треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.
Пусть дана СЛАУ
(Если нужны будут примеры, то напишите мне об этом или скажите, я их скину :3)
2. Конечно-разностная аппроксимация краевых условий, содержащих производные.
В случае решения задачи для ОДУ (4.51) с граничными условиями 2-го или 3-го родов на границах х =а и х =b значения искомой функции у(а) и у(b) неизвестны и для их нахождения должны быть составлены алгебраические уравнения в граничных узлах. Однако аппроксимацию производных, входящих в краевые условия, с помощью отношения конечных разностей справа (в узле х =а) и слева (в узле х =b) можно осуществить только с первым порядком, в то время как дифференциальное уравнение аппроксимируется со вторым порядком. Следовательно, в этом случае вся 2-я (или 3-я) краевая задача будет аппроксимирована только с первым порядком.
Для повышения на единицу порядка аппроксимации производных, входящих в краевые условия, предположим, что искомая функция у(х) дважды дифференцируема не только во внутренних точках расчетной области, но и на границах, т. е. у(х)∈С2, х∈[а,b]. Тогда для решения этой проблемы можно использовать аппарат разложения в ряды Тейлора приграничных значений сеточной функции на точном решении в окрестности граничных
узлов. С этой целью разложим функцию на точном решении в ряд Тейлора до 3-й производной включительно в окрестности узла х =а для левой границы и в окрестности узла х =b для правой границы и определим по этим разложениям y1 и yn-1.
Затем значения производных 2-го порядка для граничных узлов в этих разложениях заменяются значениями второй производной, определенными из ОДУ, после чего из полученных выражений определяются значения первой производной в граничных узлах со вторым порядком, которые затем подставляются вместо производных первого порядка в краевые условия.
