Билет 16

1. Сплайн-интерполяция. Преимущества такой интерполяции. Выбор кубического сплайна дефекта один. Геометрическая интерполяция.

А) Интерполяция, использующая сразу все n узлов таблицы (3.1), называется глобальной интерполяцией. Начиная с n ≥ 7 глобальная многочленная интерполяция становится неустойчивой в том смысле, что погрешности возрастают, так как записанный интерполяционный многочлен требует гладкости по производным 7-го и высших порядков (рис. 3.3).

Поэтому обычную многочленную интерполяцию осуществляют максимум по 3-4 узлам (для 3-х узлов 2-ой степени, 4-х узлов 3-й степени). Интерполяцию по нескольким узлам таблицы (3.1) называют локальной: линейной по каждым двум узлам с помощью интерполяционных многочленов L₁(x) , квадратичной по каждым трем узлам с помощью интерполяционных многочленов L₂(x), и так далее.

Однако такая локальная интерполяция с помощью L_n или N_n страдает тем недостатком, что интерполирующая функция в узлах стыковки многочлена имеет непрерывность только нулевого порядка, т. е. локальные интерполяционные многочлены принадлежат классу функций С⁰ (см. рис. 3.4 для L₂, N₂ в узле х*).

От этих недостатков свободна сплайн-интерполяция, которая требует непрерывности в узлах стыковки локальных многочленов по производным соответственно порядка один, два и т. д.

 Определение. Сплайном степени m дефекта r называется ( m - r) раз непрерывно дифференцируемая функция, которая на каждом отрезке [x_i-1, X_i], , представляет собой многочлен степени m.

Наиболее распространенными в науке и технике являются сплайны 3-й степени дефекта один, т. е.

т. е. дважды непрерывно дифференцируемый многочлен 3-й степени на каждом отрезке [x_i-1, X_i], . Сплайны, удовлетворяющие условию интерполяции, называются интерполяционными.

Б)  Основным достоинством интерполяционного кубического сплайна S ( х) дефекта один является следующее: этот сплайн обладает минимумом интегральной кривизны на всем заданном отрезке [а,b] по сравнению с другими интерполяционными функциями , т. е.

Геометрически это означает, что если тяжелую упругую нить повесить на ряд гвоздей, то она примет форму кубического сплайна дефекта 1, приведенную на рис. 3.5.

2. Исчисление конечных и разделенных разностей. Применение для оценок погрешностей. 

 А) Пусть дана сеточная функция (3.1) для функции f(x) или экспериментальная таблица (3.1). В вычислительной математике аналогом понятия дифференциала является понятие конечной разности, которое используется при построении методов теории приближений, в частности при построении интерполяционных многочленов.

В вычислительной математике аналогом понятия производной является понятие разделенной разности.

Б)