1. Постановка краевых задач для ОДУ. Аппроксимация краевых условий, содержащих производные.
А) Пусть на отрезке x∈[a,b] определена дважды непрерывно дифференцируемая функция у (х), поведение которой описывается линейным неоднородным ОДУ 2-го порядка. Принципиальным отличием краевой задачи от задачи Коши для ОДУ является задание дополнительных (краевых или граничных) условий более чем в одной точке независимой переменной (в задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке, называемой начальной).
Если на границах х = а и х = b заданы значения искомой функции у(а), у(b), то такие условия называются граничными условиями первого рода, а задача называется первой краевой задачей для ОДУ (4.51).
Если на границах заданы значения производных искомой функции, то такие условия называются граничными условиями 2-го рода:
а задача (4.51), (4.54), (4.55) называется второй краевой задачей для ОДУ (4.51). Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее первой производной:
Такие условия называются граничными условиями третьего рода, а задача (4.51), (4.56), (4.57) называется третьей краевой задачей для ОДУ (4.51).
Б)Аппроксимацию производных, входящих в краевые условия, с помощью отношения конечных разностей справа (в узле х = а) и слева (в узле х = b) можно осуществить только с первым порядком, в то время как дифференциальное уравнение аппроксимируется со вторым порядком. Следовательно, в этом случае вся 2-я (или 3-я) краевая задача будет аппроксимирована только с первым порядком.
Для повышения на единицу порядка аппроксимации производных, входящих в краевые условия, предположим, что искомая функция у(х) дважды дифференцируема не только во внутренних точках расчетной области, но и на границах, т. е. y(x)∈C2, x∈[a,b]. Тогда для решения этой проблемы можно использовать аппарат разложения в ряды Тейлора приграничных значений сеточной функции на точном решении в окрестности граничных узлов.
С этой целью разложим функцию на точном решении в ряд Тейлора до 3-й производной включительно в окрестности узла х = а для левой границы и в окрестности узла х = b для правой границы и определим по этим разложениям y1 и yn-1.
Затем значения производных 2-го порядка для граничных узлов в этих разложениях заменяются значениями второй производной, определенными из ОДУ, после чего из полученных выражений определяются значения первой производной в граничных узлах со вторым порядком, которые затем подставляются вместо производных первого порядка в краевые условия. Рассмотрим эту процедуру для левой границы x0=a:
Из ( 4.6) видно, что полученное уравнение для узла x0=a содержит только два неизвестных y1 и yn-1, а аппроксимация имеет второй порядок. Следовательно ( 4.68) можно представить в виде:
Подставляя это выражение в краевое условие (4.57) (или в (4.55)), получим уравнение для правой границы с двумя неизвестными yn-1, yn и вторым порядком аппоксимации:
Таким образом, результирующая СЛАУ с трехдиагональной матрицей теперь будет содержать n+1 уравнение, каждое из которых получено со вторым порядком точности, а именно: уравнение (4.69) при i = 0, уравнения (4.61) для i = 1, n-1 и уравнение (4.70) для i=n. Для ее решения используется метод прогонки, поскольку a0=0 и Cn=0.
2. Численное решения задач Коши для систем ОДУ. Выбор шага численного интегрирования. Порядок метода, процедура Рунге повышения порядка метода.
А)(метод Эйлера)Пусть дана задача Коши для ОДУ 1-го порядка:
Заметим, что правая часть ОДУ (4.4) f(x, у) равна производной у' от искомой функции, и, следовательно, dy = у' dx = = f(x, y)dy. Для конечно-разностного приращения Δy функции на шаге Δx в точке xi имеет место равенство Δyi=f(xi,yi)Δx.
Интегрируя уравнение (4.4) на отрезке h=xi+1-xi, получим
Формула ( 4.6) - алгоритм метода Эйлера численного интегрирования задачи Коши (4.4), (4.5). На каждом шаге численного интегрирования метод Эйлера имеет второй порядок погрешности.
(метод Эйлера-Коши) (Эйлера с пересчетом)
(метод Рунге-Кутта)
Б) При численном решении задач Коши для ОДУ и систем ОДУ шаг численного решения можно выбирать апостериорно и априорно. В обоих случаях первоначальное значение шага h задается.
При апостериорном выборе шага последний изменяется в процессе счета на основе получаемой информации о поведении решения и на основе заданной точности Ɛ. Пусть Ɛ - заданная точность численного решения, и пусть h - первоначально выбранный шаг. Тогда алгоритм дальнейшего выбора шага следующий.
В) Порядком метода назовем показатель р степени hp
В главном члене погрешности метода. В методе Эйлера главный член погрешности на шаге h пропорционален h2, а на всем интервале пропорционален шагу h. Поэтому метод Эйлера - метод 1-го порядка. По той же причине метод Эйлера-Коши - метод 2-го порядка, метод Рунге-Кутта метод 4-го порядка (здесь порядок метода в точности совпадает с порядком соответствующей квадратурной формулы численного интегрирования).
Пусть задача Коши решается методом р-го порядка с шагом h с получением численных значений yh и главным членом погрешности φ(x)hp, пропорциональным hp. Тогда неизвестное точное решение у(х) можно представить в виде:
так как главный член погрешности в алгоритме (4.50) пропорционален степени hp+1. Процедура ( 4.50) называется процедурой Рунге уточнения численного решения задачи Коши. Для ее применения задачу необходимо решать дважды с шагами h и h/2.
Процесс уточнения с применением формулы ( 4.50) можно применять и дальше, проводя расчеты с шагами h/4, h/8 и т.д., пока не выполнится условие.
