Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
Последнее равенство можно записать через дифференциалы:
или
Первообразная имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.
Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть
Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде .
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть
Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых , где каждому конкретному числовому значению постоянной соответствует определенная кривая из указанного семейства.
График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.
Каждая непрерывная на промежутке функция, имеет на этом интервале первообразную.