пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных

Если задана функция u = f(x, y, z) и вычислены ее частные производные \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} и \frac{\partial u}{\partial z} , то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных x, y и z , а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если найти частную производную по переменной x от частной производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial x} , то получаем частную производную второго порядка от функции u , которую взято два раза по переменной x . Это производная обознается как:

  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u''_{xx} \]

Итак,

  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Если взять частную производную по переменной y от производной \frac{\partial u}{\partial x} , то получим частную производную второго порядкафункции u, которую взято вначале по переменной x , а потом – по переменной y . Такая производная называется смешанной производной и обозначается

  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = u''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \]

Аналогично, частная производная по переменной x от первой производной \frac{\partial u}{\partial y} по переменной y дает вторую смешанную частную производную функции u , вычисленную вначале по переменной y , а потом – по переменной x . Она обозначается символом

  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

ТЕОРЕМА
Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть

  \[  \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}  \]

Частная производная по переменной y от производной первого порядка \frac{\partial u}{\partial y} есть второй частной производной от функции u по переменной y . Ее обозначают следующим образом:

  \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = u'''_{xxx} определяет производную третьего порядка функции u = f(x, y, z) найденную три раза по переменной x . Аналогично \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной x и от полученной производной \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} найдена один раз производная по переменной y .

.


24.05.2017; 12:31
хиты: 149
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь