Если задана функция и вычислены ее частные производные и то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных и а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.
Итак,
Если взять частную производную по переменной от производной то получим частную производную второго порядкафункции , которую взято вначале по переменной а потом – по переменной Такая производная называется смешанной производной и обозначается
Аналогично, частная производная по переменной от первой производной по переменной дает вторую смешанную частную производную функции вычисленную вначале по переменной а потом – по переменной Она обозначается символом
Частная производная по переменной от производной первого порядка есть второй частной производной от функции по переменной Ее обозначают следующим образом:
Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение определяет производную третьего порядка функции найденную три раза по переменной Аналогично – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной и от полученной производной найдена один раз производная по переменной
.