§2. Кинематика твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:

1. поступательное,
2. вращение вокруг неподвижной оси,
3. плоское движение,
4. движение вокруг неподвижной точки,
5. свободное движение.

Основными видами движения твердого тела являются первые два движения. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из основных движений либо к их совокупности.

Поступательное движение – это движение, при котором все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени одинаковые перемещения. При таком движении любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной самой себе.

Поскольку при поступательном движении все точки тела движутся одинаково, то задача описания движения твердого тела сводится к задаче кинематики точки (см. §1).

Вращательное движение – это движение, при котором все точки твердого тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

При вращательном движении угловые величины (перемещения, скорости, ускорения) всех точек тела одинаковы, а линейные – различны и зависят от расстояния точки до оси вращения.

Рассмотрим  вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

                   Вращение вокруг неподвижной оси

Поскольку твердое тело – это совокупность материальных точек и при его вращении вокруг неподвижной оси каждая из них движется по окружности, рассмотрим движение материальной точки по окружности.

 

Пусть за время радиус-вектор , проведенный к материальной точке, совершает поворот на элементарный угол , при этом материальная точка перемещается из положения 1 в положение 2.

                                                          

 

 

                       

 

 

                       

 

                                              

                                       

 

 

                                            2         

 

 

1

                                                         1   

 

 

                                                              

 

                        

                Рис. 1.4

Вектор  называется вектором углового перемещения, он численно равен углу поворота, направление его определяется по правилу правого винта  (рис. 1.4).

Единицей измерения углового перемещения в СИ является радиан (рад).

Кинематической характеристикой направления и быстроты вращения материальной точки служит угловая скорость:

                                                                                                                             (1.22)

Угловая скорость  определяется как первая производная от углового перемещения  по времени. Она всегда направлена так же, как и вектор углового перемещения. Единицей измерения угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с).

В том случае, если вектор   меняется с течением времени, вводят понятие углового ускорения , вектора характеризующего быстроту изменения угловой скорости:

 

                                                                                                                             (1.23)

Вектор углового ускорения  совпадает по направлению с вектором угловой скорости , если движение материальной точки равноускоренное (>0).

В случае равнозамедленного движения (<0) вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную вектору (рис. 1.4). В СИ угловое ускорение измеряется в радианах на секунду в квадрате (рад/с2).

Модули углового перемещения и угловой скорости связаны с числом полных оборотов N и частотой вращения n:

                                                                                                                          (1.24)

                                                                                                           (1.25)

Частота вращения n – это число оборотов, совершенное за единицу времени. В СИ частота вращения измеряется в с-1 (1/с).

Во вращательном движении вводится также понятие периода вращения T.  Это время, за которое совершается один полный оборот. Период, таким образом, величина обратно пропорциональная частоте вращения n и измеряется в СИ в секундах (с).

                                                               ,                                                                   (1.26)

                                                            .                                                                  (1.27)

 

Пример 1. Равномерное движение по окружности.

При равномерном вращении материальной точки по окружности вектор угловой скорости  остается неизменным (), а значит угловое ускорение равно нулю(). 

В этом случае угловое перемещение линейно зависит от текущего времени:

                                                                   ,                                                  (1.28)

где  – угловое перемещение в начальный момент времени (при t=0).

Пример 2. Равнопеременное движение по окружности

При равнопеременном движении материальной точки по окружности неизменным остается вектор углового ускорения (). Угловая скорость и угловое перемещение меняются:

                                                                                                                            (1.29)

                                                             .                                                (1.30)

  ( – равноускоренное,    – равнозамедленное движение по                                                                                                               окружности) .

Связь линейных и угловых величин

На рис. 1.4 материальная точка движется по окружности радиуса ,  следовательно, модуль радиус-вектора , идущего из центра окружности в точку нахождения в данный момент времени материальной точки, и есть радиус  ().

Материальная точка за время  переместилась из положения 1 в положение 2, следовательно, путь, пройденный по дуге окружности ,связан с углом поворота :                                                                                                                                                                                                                                            

или

то есть

                                                                   .                                                        (1.31)

Продифференцируем выражение (1.31) по времени:

Получим выражение для тангенциального ускорения:

                                                                   .                                                           (1.32)   

Нормальное ускорение:

                                                                 .                                                (1.33)

 

Применим правило правого винта. При вращении от к поступательное движение правого винта осуществляется вдоль (рис. 1.5), поэтому

Рассмотрим полученную связь линейных и угловых величин в векторной форме. Остановимся для удобства на рассмотрении равноускоренного движения ().

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

                     Рис. 1.5

 

                                                            

                                                                  .                                                         (1.34)

Аналогично

                                                         .                                                 (1.35)

Нормальное ускорение  противоположно по направлению радиус-вектору , следовательно:

                                                                                                     (1.36)