пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Физика

§1. Основы кинематики материальной точки

  Кинематика – это раздел механики, изучающий движение тел, не интересуясь причинами, вызывающими это движение.

          

Рассмотрим движение материальной точки А (рис.1).        

 

              

                                           Z

 

                                                               A

                                                                                                                                                                      

                                                         

                                                                              

 

                                                                   

                                               0                                               Y

 

 

 

                                                          Рис.  1

 

                                     X

 

                         

                                                    

Здесь - радиус-вектор, вектор, идущий из  начала координат к материальной точке в  различные моменты времени. Он характеризуется тремя величинами - x,y,z. Это проекции радиус-вектора  на координатные оси, которые являются одновременно и координатами материальной точки А. При движении материальной точки они меняются с течением времени, поэтому каждая из координат зависит от текущего времени:

x=f1(t) ;  y=f2(t) ; z=f3(t).

Таким образом, зависимость радиус-вектора от времени   является законом движения.

           

 

 

Пусть за промежуток времени  материальная точка А переместилась из точки 1 в точку 2   (рис 2).  

                                                                                 

                                                                   Z

 

 

 

 

                                                                                                                  

 

 
 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       1                             2

 

 

                                                                                                                                       

 

 

 

 

0

           

 

                                                                                                                                            Y       

 

 

                                      

                                                                         Рис. 2

                   X              

 

  

Траектория – это линия, описываемая материальной точкой в пространстве при её движении. Фактически это геометрическое место концов радиус-вектора (рис.2).

 – вектор перемещения. Он представляет собой приращение радиус-вектора r за время :

                                                       

                                                 ,                                                      (1)                                        =,            (2)   

где x1, y1, z1начальные координаты материальной точки;

      x2, y2, z2конечные координаты.

Вектор перемещения  – это вектор проведенный из начального в конечное положение материальной точки. В общем случае он не совпадает с соответствующим участком траектории.

Путь (D)это скалярная величина, равная сумме длин участков траектории.

При бесконечно малом перемещении (элементарном перемещении) направление вектора  совпадает с направлением касательной к данной точке траектории.

Пусть за время  материальная точка переместилась на , тогда вектор средней скорости перемещения за время :

                                                                .                                                              (3)

Вектор средней скорости перемещения совпадает по направлению с вектором перемещения  (рис.2).

В кинематике вводится понятие средней путевой скорости. Если за время  материальная точка прошла путь D, то средняя путевая скорость:

                                                               .                                                                (4)

Определим вектор скорости точки в данный момент времени (мгновенной линейной скорости) как предел отношения при  0, то есть

                              =   .                                                   (5)

Вектор мгновенной линейной скорости  равен производной от радиус-вектора  по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки A (как и вектор ) (рис.2).

В СИ единицей измерения скорости является метр на секунду (м/с).

В пространстве существует три проекции вектора скорости на оси координат:        

                                      ;  ;  .                                        (6)

 

Поэтому полная скорость определится соотношением:

                                            .                                                             (7)

Введём понятие ускорения.

Пусть за время  скорость материальной точки изменилась на величину , тогда среднее ускорение за время :

                                                    .                                                              (8)

В СИ  единицей измерения ускорения является метр на секунду в квадрате  (м/с2).

Пусть  → 0, тогда мгновенное ускорение равно:

                                                                        (9)

 

Мгновенное линейное ускорение равно первой производной от вектора мгновенной скорости  по времени или второй производной от радиус – вектора   по времени.

Проекции ускорения на оси координат:

                                                                                                           (10)

 

Полное ускорение:

                                                                                                           (11)

Пример 1. Векторный способ описания движения точки.

Пусть радиус-вектор точки, зависит от времени t по закону =t+, где  и  – постоянные векторы.

Найдем скорость  и ускорение  точки.

=.

Таким образом, зная зависимость радиус-вектора от времени  дифференцированием можно найти скорость  и ускорение .

Можно решить и обратную задачу: зная ускорение и скорость, интегрированием найти зависимость радиус-вектора от времени, однако в этом случае, для получения однозначного решения необходимо знать начальные условия, то есть скорость   и радиус-вектор  точки в некоторый начальный момент времени t0.

Пример 2. Координатный способ описания движения материальной точки.

Рассмотрим движения материальной точки вдоль оси x.

а) Неравномерное движение вдоль оси x:

скорость и ускорение материальной точки меняются с течением времени.

Тогда средняя скорость:

                                                                                                  (12)

 

Мгновенная линейная скорость:

                                                                                                                 (13)

Среднее ускорение:

                                                                                                     (14)

Мгновенное линейное ускорение:

                                                                                       (15)

    б) Равномерное движение вдоль оси x: ;

 

При этих условиях:

                                                                                                                       (16)

 где x0 – координата при t=0 .

    в) Равнопеременное движение вдоль оси x:

                                                                                                             (17)

                                                                                                                      (18)

Если   > 0, то движение равноускоренное, если   < 0, то движение равнозамедленное.

 

Тангенциальная и нормальная составляющие       

ускорения.      

                                             

 

.

                                              При криволинейном движении материальной

 

                                                     точки ее скорость изменяется как по величине                                    

                                                  так и по направлению (рис.3).

                                             

              Рис. 3.    

Ускорение  направлено внутрь кривизны траектории и составляет угол с вектором мгновенной скорости . Оно может быть представлено как векторная сумма тангенциального  и нормального  ускорений.

Модуль тангенциального ускорения определяется как первая производная от мгновенной скорости  по времени:

                                                                                                                         (19)

Оно меняет модуль скорости.

Нормальное ускорение меняет направление скорости:

                                                                      ,                                                (20)

где R – радиус кривизны траектории.

Модуль полного ускорения точки :

                                                                        (21)


12.01.2017; 16:44
хиты: 380
рейтинг:0
Естественные науки
физика
механика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2021. All Rights Reserved. помощь