Рассмотрим движение произвольной точки системы из первого положения во второе:
где Fke - внешние силы, действующие на систему,
Fki - внутренние силы системы.
Умножим обе части уравнения скалярно на дифференциал радиуса-вектора drk тогда
или dTk = dAke + dAki , (1.1)
где Tk - кинетическая энергия точки;
далее получим
Просуммируем по всем точкам системы
То есть, изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении.
Если в формуле (1.1) обе части уравнения разделить на dt, то можно записать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему.
dTk / dt = dAke / dt + dAki / dt , dTk / dt =Nke + Nki.
Суммируя по всем точкам системы, получим
dT / dt = ?Nke + ?Nki.
Из теоремы следует закон сохранения механической энергии.
Если механическая система является консервативной, то полная механическая энергия системы Т + П, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, при движении системы остается постоянной.
При движении механической системы в потенциальном силовом поле получаем
T2 -T1 = A12.
По определению потенциальной энергии
П1 - П2 = A12.
Тогда
T2 - T1 = П1 - П2 , T2+ П2 = T1 + П1 , Т + П = const.
