Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F (x) = f(x). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. F1(x) = F2(x) + C. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: ; )()( C xFdxxf
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла:
1. ); ())(()( x fCxFdxxf
2. ; )()( dx xfdxxfd
3. ; )()( C xFxdF
4. ; )( wdx vdxudxdxwvu где u, v, w – некоторые функции от х.
5.
;)()( dxxfCdxxfC
43
§ 3.2. Таблица основных интегралов.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Интеграл Значение Интеграл Значение 1 tgxdx -ln cosx +C 9 dx ex ex + C
2 ctgxdx ln sinx + C 10 xdx cos sinx + C
3 dx ax C a ax ln
11 xdx sin -cosx + C
4
22 xa dx C a x arctg a 1 12 dx x2cos 1 tgx + C
5
22 ax dx C ax ax a ln 2 1 13 dx x2sin 1 -ctgx + C
6
22 ax dx ln C axx 2 2 14
22 xa dx arcsin
a x + C
7 dx x
1,
1
1
C x 15 dx xcos 1 C x tg 42 ln
8
x dx C xln 16 dx xsin 1 C x tg 2 ln
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
44
§ 3.3. Способ подстановки (замены переменных). Интегрирование по частям
Теорема: Если требуется найти интеграл dx xf ) ( , но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
dtttfdxxf )())(()(
Способ интегрирования по частям основан на известной формуле производной произведения: (uv) = u v + v u где u и v – некоторые функции от переменной х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем: vdu udvuvd )( , а в соответствии с
приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: vduudvuv или vdu uvudv ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
45
§ 3.4. Интегрирование элементарных дробей
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. ; 1 bax
III. ; 2 c bxax NMx
II. ; )( 1 mbax
IV.
ncbxax NMx )( 2
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
I. . ln 1 ln 11 Cbax a Ct at dt abax dx
II. ; ))(1( 1 )1( 11 )( 1 1 C baxma C tmat dt abax dx mmmm
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
C
pq px
arctg
pq ApB
qpxx
A
p
q
p
x
dxAp
Bqpxx
A
qpxx dxAp
Bdx
qpxx pxA
dx
qpxx
Ap
Bpx
A
dx
qpxx BAx
2
2
2
22
2
2222
4 2
4 2
ln
2
42
2
ln
2
2
2
2
2
)2(
2
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам. Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа. Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
46
Тогда интеграл вида
ncbxax dx )( 2
можно путем выделения в
знаменателе полного квадрата представить в виде n su du )( 2 . Сделаем
преобразование:
nnnn su duu ssu du s du su uus ssu du )( 1 )( 1 )( 1 )( 2 2 122 22 2
.
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим:
;
))(1(2 1
)(
;;;
)(
1221
1121
nn
n
sunsu udu
v
duduuu
su udu
dv
;
)(22 1 ))(22()( 1 2122 2 nnn su du nsun u su duu
Для исходного интеграла получаем:
1212122 )()22( 1 ))(22()( 1 )( n nnn s u du nssuns u su du ssu du
.
)()22( 32 ))(22()( 1 2122 n nn s u du ns n suns u su du
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз,
то получится табличный интеграл
su du 2
.
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
nn
n
n
n
n
n
n
su du
a MbaN
su udu
a M
a a
du
su
N
a buM
a a
bacs
a bu
x
adxdubaxu
dx
bacbax NMx
adx
cbxax NMx
)(2
2
)(22 )4(
)( 2 )(
2 )4(
;4;
2
;2;2
)4()2(
)4(
)(
222
2222
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки
t=u2+s приводится к табличному n t dt
, а ко второму интегралу применяется
рассмотренная выше рекуррентная формула.
47
§ 3.5. Интегрирование рациональных функций
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема: Если
)( )(
)(
xP xQ xR - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a) …(x - b) (x2 + px + q) …(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
)(
...
)(
...
)(
...
)(
)(
...
)()(
...
)(
...
)()( )(
222 22
2
11
222 22
2
11
2
21
2
21
srxx SxR
srxx SxR
srxx SxR
qpxx NxM
qpxx NxM
qpxx NxM
bx B
bx B
bx B
ax A
ax A
ax A
xP xQ
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
48
§ 3.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
1. Интеграл вида dx xxR ) cos,(sin .
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx. Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
2 x tgt . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
2
2 1
2
2
1
2
2
sin
t t
x
tg
x
tg x , ; 1 1 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 t t x tg x tg x ; 1 2 ;2 2 t dt dxarctgtx
Таким образом: . )( 1 2 1 1 , 1 2 )cos,(sin 2 2 2 2 dt trdt tt t t t RdxxxR
2. Интеграл вида dx xxR ) cos,(sin если функция R является нечетной
относительно cosx.
Подстановка t = sinx. xdx x xxR dxxxR cos cos )cos,(sin )cos,(sin
Функция
x xxR cos )cos,(sin может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
.)(cos)(sin)cos,(sin dttrxdxxrdxxxR
49
3. Интеграл вида dx xxR ) cos,(sin если функция R является нечетной
относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t= cosx.
Тогда . )(sin)(cos)cos,(sin dt trxdxxrdxxxR
4. Интеграл вида dx xxR ) cos,(sin , если функция R четная относительно
sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t=tgx. Тогда dt trdxxxR ) ()cos,(sin
5. Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
nm xnm
nm xnm
dxxnmxnmnxdxmx
)sin()sin(
2 1
)cos()cos(
2 1 coscos
nm xnm
nm xnm
dxxnmxnmnxdxmx
)cos()cos(
2 1
)sin()sin(
2 1 cossin
nm nm
nm nm
dxxnmxnmnxdxmx
)sin()sin(
2 1
)cos()cos(
2 1 sinsin
50
§ 3.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим интеграл вида dx dcx bax xR n ,
где n- натуральное число.
С помощью подстановки t dcx bax n функция рационализируется.
;;; dt cta bt dx cta bt xt
dcx bax
n
n
n
n n
Тогда . )(,, dt trdt cta bt t cta bt Rdx dcx bax xR n n n n n
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
51
§ 3.9. Интегрирование биноминальных дифференциалов Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx, где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: 1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки x t , где - общий знаменатель m и n.
2) Если
n m 1 - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой s n bxat , где s – знаменатель числа р.
3) Если p n m 1 - целое число, то используется подстановка
s
n
n
x bxa t , где s – знаменатель числа р. Подстановки Чебышева дают возможность нахождения интегралов от биноминальных дифференциалов и имеют большое практическое применение. Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена. Рассмотрим интегралы вида dx cbxaxxR 2, . Существует
несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ. Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду: . 22 mu
52
Таким образом, интеграл dx cbxaxxR 2,
приводится к одному из трех
типов:
1) ; ),( 22 du umuR
2) ; ),( 22 du umuR
3) ; ),( 22 du muuR
Рассмотрим теперь некоторые способы решения таких интегралов.
1 способ. Тригонометрическая подстановка. Теорема: Интеграл вида du umuR ) ,( 2 2 подстановкой t mu sin или
tmu cos сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Теорема: Интеграл вида du umuR ) ,( 2 2 подстановкой mtgt u или
mctgtu сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint
и cost.
Теорема: Интеграл вида du muuR ) ,( 2 2 подстановкой
t
u
sin 1
или
t
u
cos 1
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint
или cost. 2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783) 1) Если а>0, то интеграл вида dx cbxaxxR ) ,( 2
рационализируется подстановкой a xtcbxax 2 . 2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида dx cbxaxxR ) ,( 2
рационализируется подстановкой c txcbxax 2 .
53
3) Если a<0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x–x1)(x–x2), то интеграл вида
dxcbxaxxR ),( 2 рационализируется подстановкой
)( 1 2 x xtcbxax
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
;
)(
.;)(.;
)(
.
2
2 2 c bxaxx dx IIIdxcbxaxxPII cbxax dxxP
I
n
где P(x) – многочлен, n – натуральное число. Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа. Далее делается следующее преобразование:
;)(
)(
2
2 2 c bxax dx cbxaxxQ cbxax dxxP
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина. Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на c bxax 2 и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты многочлена Q(x). Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.
54
§ 3.10. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
К таким интегралам относится интеграл вида dx xPxR ) )(,( , где Р(х) -
многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими. Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим. Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим. Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1) dx e x2 - интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон –
французский математик (1781-1840)) 2) dx xdxx 2 2 cos ;sin - интегралы Френеля (Жан Огюстен
Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики)
3)
x dx ln
- интегральный логарифм
4) dx x ex
- приводится к интегральному логарифму
5) dx x xsin - интегральный синус
6) dx x xcos
- интегральный косинус
55
§ 3.11. Понятие определѐнного интеграла.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y M
m
0 a xi b x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1] m1, M1; [x1, x2] m2, M2; … [xn-1, xn] mn, Mn. Составим суммы:
S n = m1 x1 + m2 x2 + … +mn xn =
n
i
ii xm
1
S n = M1 x1 + M2 x2 + … + Mn xn =
n
i
ii xM
1
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S –
верхней интегральной суммой. Т.к. mi Mi, то S n S n, а m(b – a) S n S n M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
56
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f( 1) x1 + f( 2) x2 + … + f( n) xn =
n
i
ii xf
1
)(
Тогда можно записать: mi xi f( i) xi Mi xi
Следовательно,
n
i
ii
n
i
n
i iiii x Mxfxm 11 1 )(
nnn SSS
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим max xi – наибольший отрезок разбиения, а min xi – наименьший. Если max xi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b]
стремится к бесконечности. Если
n
i iin xfS 1 )( , то . )(lim 1 0max Sxf n i ii xi
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max xi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма
n
i iin xfS 1 )( стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение: . )( b a dxxf а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел
n
i
ii
x
xf
i 1 0max )(lim , )( b a dxxf то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
57
Также верны утверждения:
b
a
n
i
ii
x
dxxfxm
i )(lim 1 0max
b
a
n
i
ii
x
dxxfxM
i )(lim 1 0max
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
58
§ 3.12. Свойства определенного интеграла
1) ; )()( b a b a dxxfAdxxAf
2)
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf )()())()(( 2121
3) 0 )( a a dxxf
4) Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
b
a
b
a dxxdxxf )()( 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
b
a abMdxxfabm ) ()()( 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что
)()()( fabdxxf
b
a
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
Mdxxf
ab
m
b
a
)(
1
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число [a, b], что если
b
a
dxxf
ab
)( 1 и = f( ), а a b, тогда ) ()()( fabdxxf b a
.
Теорема доказана.
59
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
a
b
c
c
a dxxfdxxfdxxf )()()( Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8)
b
a
a
b dxxfdxxf )()(
9) Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что
b
a
b
a dxxfdxxxf )()()()(
60
§ 3.13 Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть в интеграле
b
a
dxxf )( нижний предел а = const, а верхний предел
b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.
Обозначим
x
a
dttf )( = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по
переменному верхнему пределу х. ) ()( x fdttf dx d x a
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной
функции f(x), то
b
a
aFbFdxxf ) ()()(
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в
соответствии с приведенной выше теоремой, функция
x
a
dttf )( -
первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на
какое – то постоянное число С, то C xFdttf x a )()(
61
При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е.
при х = а:
a
a
CaFdttf )()(
CaF )(0 ) (aFC
Тогда ) ()()( a FxFdttf x a
. А при х = b:
b
a
aFbFdttf ) ()()(
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона –
Лейбница: ) ()()( a FbFdxxf b a
Теорема доказана.
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) b a
.
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
62
§ 3.14. Замена переменных. Интегрирование по частям
Пусть задан интеграл
b
a
dxxf )( , где f(x) – непрерывная функция на
отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). Тогда если 1) ( ) = а, ( ) = b 2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [ , ] 3) f( (t)) определена на отрезке [ , ],
то
b
a
dtttfdxxf )()]([)(
)()()]([)]([)]([)()]([ aFbFFFtFdtttf
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
.
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
63
§ 3.15. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Интеграл от разрывной функции
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение: Если существует конечный предел
b
a
b
dxxf )(lim , то этот
предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).
Обозначение:
a
b
a
b
dxxfdxxf )()(lim
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
b
a
a
b
dxxfdxxf )(lim)(
c
c dxxfdxxfdxxf )()()(
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие ) ()(0 x xf и
интеграл
a
dxx )( сходится, то
a
dxxf )( тоже сходится и
a
dxx )(
a
dxxf )( .
64
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие ) ()(0 x fx и
интеграл
a
dxx )( расходится, то
a
dxxf )( тоже расходится.
Теорема: Если
a
dxxf )( сходится, то сходится и интеграл
a
dxxf )( .
В этом случае интеграл
a
dxxf )( называется абсолютно сходящимся.
Утверждение: Если в точке х = с функция либо неопределенна, либо
разрывна, то
b
a
cb
c
a
dxxfdxxf )(lim)( 0
Если интеграл
b
a
dxxf )( существует, то интеграл
c
a
dxxf )( - сходится,
если интеграл
b
a
dxxf )( не существует, то
c
a
dxxf )( - расходится.
Утверждение: Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
c
b
ab
c
a
dxxfdxxf )(lim)( 0
.
Утверждение: Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
с
a
c
b
b
a dxxfdxxfdxxf )()()( Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
65
§ 3.16. Приложения определенного интеграла
Рассмотрим решения некоторых задач геометрии и физики, с практическим применением определенного интеграла. 1. Вычисление площадей плоских фигур. у
+ + 0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. Для
нахождения суммарной площади используется формула
b
a dxxfS )( .
2. Нахождение площади криволинейного сектора.
= f( ) 0 Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид = f( ), где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Площадь криволинейного сектора
может быть найдена по формуле d fS ) ( 2 1 2
3. Вычисление длины дуги кривой.
66
y y = f(x)
Si yi xi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена
как
n
i in SS 1
. Тогда длина дуги равна
n
i
i
S SS i 1 0max lim .
Из геометрических соображений: i i i iii x x y yxS 2 22 1
В то же время
i
ii
i
i
x xfxf
x y ) ()( 1
Тогда можно показать, что
b
a
n
i
i
x
dx
dx dy
SS i
2
1
0max 1lim
Т.е.
b
a dxxfS 2)(1 Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем
dtttS 22 )()( , где х = (t) и у = (t).
Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то
dttZttS 222 )()()(
Если кривая задана в полярных координатах, то
dS 22 , = f( ).
4. Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
67
Q(xi-1) Q(xi)
a xi-1 xi b x
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi. Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi xi и mi xi здесь xi = xi - xi-1. Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим
цилиндры, объемы которых равны соответственно
n
i
ii xM
1
и
n
i
ii xm
1
.
При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий
предел:
b
a
n
i
ii
n
i
ii dx xQxmxM ) (limlim 1 0 1 0
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
b
a dxxQV )( Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел. 5. Объем тел вращения.
68
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения. y = f(x)
x Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса ) (xfR , то объем тела вращения может быть легко найден по
полученной выше формуле:
b
a dxxfV )(2
6. Площадь поверхности тела вращения. Мi B
А
xi х
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных. Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь
может быть найдена по формуле: i ii i S yy P 2 2 1 Здесь Si – длина каждой хорды.
69
i
i
i iii x x y yxS 2 22 1
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению
i
i
x y
. Получаем: i ii ii ii i i x xf xx xfxf x y 1 1 1 ), ( )()(
Тогда
iii xfS )(1 2
i i ii i x f yy P ) (1 2 2 2 1 Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
n
i iiiin xfxfxfP 1 2 1 ) (1)()( Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
n
i
iii
x
n
i
iiii
x xffxfxfxfP ii 1 2 0max 1 2 1 0max )(1)(2lim)(1)()(lim
Тогда
b
a dxxfxfP )(1)(2 2 - формула для вычисления площади поверхности тела вращения.
