Определение

Первообразная и неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции

Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого х  Х функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x) = f(x).

Приведем примеры.

Пример 1. Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (-, +), так как при любых х выполнено равенство (sin x)' = cos х.

Пример 2. Функция F(x) = ln x — первообразная для функции f(x) = 1/x на промежутке (0, +), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln x)' =1/x.

Заметим, что задача отыскания по заданной функции f(x) еe первообразной неоднозначна; если F(x) — первообразная, то и функции F(x) + С, где С - произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), так как [F(x) + С]' = f(x).

Неопределенный интеграл Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

В этом обозначении  называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование), f(x) — подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Рассмотрим примеры.

Пример 3. = x2 + С; проверка: (x2 + С)' = 2х.

Пример 4.  = - cos х + С; проверка: (-cos х + С)' = sin x.

Пример 5. = е3x + С; проверка: (+ C)' = е3x.

6.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Прежде всего укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.

Заметим, что последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

6.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее мы получили таблицу основных производных элементарных функций. Приводимая ниже таблица основных неопределенных интегралов представляет собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Как было установлено в п. 4.4, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не является элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь дело в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются "неберущимися"). Тем не менее существуют достаточно хорошо разработанный аппарат приближенных формул с использованием элементарных функций и методы приближенных расчетов, позволяющие с любой степенью точности оценивать и вычислять "неберущиеся" интегралы.

6.4. Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

Выражение (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.

Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:

Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем

Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде

Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную t = sin x. Тогда 1 — sin2 х = 1 — t2, dt = cos x dx; подстановка в интеграл дает

Здесь использован табличный интеграл 10.

Решение. Введем новую переменную t = x4 и выполним все необходимые операции: x8 + 1 = t2 + 1, dt = 4xзdx, откуда имеем

Решение. Положим t = х2 + 1, тогда dt = 2х dx или xdx = , и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме

Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегрирования по частям.

В интегрировании по частям самым сложным является выбop в подынтегральном выражении сомножителя v'(x) dx = dv. Под знак дифференциала d можно в принципе внести все что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (6.2) был проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести интеграл dv к интегралу du, вычислить который существенно проще. Рассмотрим примеры нахождения интегралов методом интегрирования по частям.

Пример 8. dx.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (6.2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xndx = dv, т.е. v = хn+1 /(п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, eхdx = dv = d(ex), тогда по формуле (6.2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится еkx, т.е. ekxdx = dv = d(еkx).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = -d(cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Введем понятие рациональной функции от двух переменных. Это функция, полученная из переменных и и v путем проведения над ними арифметических операций. Например, функция

является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,

Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой

Действительно,

Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает

где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.

Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем

Пример 12.  dx, т и п — натуральные числа.

Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.

1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.

2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.

3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.

4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.

Например, найти интеграл dx.

Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем

Рациональная функция от еx

Интеграл вида

рационализируется подстановкой

Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим