Определение

Если $x_0=0$ и существует $f^{(n)}(0)$ , то формула Тейлора принимает вид:

(1)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций

Таблица разложения элементарных функций в ряд Маклорена

Замечание 1. Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на интервале $(-l, l).$ Если эта функция является четной, то её производная – нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции – четная функция.
$\triangle$ Пусть $f(x)$ – четная функция, тогда:
$f(-x)=f(x)$ , $x\in(-a, a)$ .
Дифференцируя это тождество, получаем
$-f'(-x)=f'(x),$ $x\in(-a, a)$ .
Это означает, что $f'(x)$ – нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда $f(x)$ – нечетная функция. $\blacktriangle$
Отсюда следует, что для нечетной функции $f$ выполняютcя условия $f^{(2k)}(0)=0$ , $k\in \mathbb{N}$ , а для четной функции $f$ – условия $f^{(2k-1)}(0)=0$ , $k\in \mathbb{N}$ , так как любая непрерывная нечетная функция принимает при $x=0$ значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде: