. Арифметические операции.Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.
Пусть , . Тогда
сумма ,
разность ,
произведение ,
частное (при )
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:
.
Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем
. (1)
Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .
Для частного получаем формулу:
. (2)
Возведение комплексного числа в степень.Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу
. (3)
Формула Муавра:
Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.
1) Пусть – натуральное число. Так как комплексное числоимеет модуль, то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
2) Пусть теперь . Тогда
, ч.т.д.
3) Пусть , где– натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем:
.
Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).
Теорема доказана.