Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если ${f}''(x_{0})$ меняет знак при переходе через точку $x_{0}$ , то точка $x_{0}$ – точка перегиба функции $f(x)$ .

Доказательство

Пусть ${f}''$ меняет знак с “-” на “+”, тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция $f(x)$ на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция будет строго выпукла вверх, на интервале $(x_{0};x_{0}+\delta )$ – строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку $x_{0}$ направление выпуклости изменяется $\Rightarrow$ по определению $x_{0}$ – точка перегиба.

Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Выпуклость и вогнутость функции

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

первая производная непрерывна в окрестности точки ;
вторая производная или не существует в точке ;
при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Найти вторую производную функции.
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Достаточный признак существования точек перегиба.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Доказательство

Выпуклость функции, точки перегиба

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Определение

Теорема

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость