Выпуклость функции, точки перегиба
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Определение
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
тогда в точке функция имеет перегиб.