пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой.

Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Выпуклость и вогнутость функции

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

 

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

  1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;
  2. вторая производная или не существует в точке ;
  3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

 


20.01.2017; 02:01
хиты: 122
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь