Достаточный признак существования экстремума.

Первый достаточный признак. Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может самой точки ). Тогда, если:

а) при , при , то в точке функция достигает максимума;

б) при , при , то в точке функция достигает минимума.

Второй достаточный признак экстремума. Пусть функция имеет в точке производную и непрерывную вторую производную . Тогда, если в точке будет максимум, а если в точке будет минимум.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , кроме, быть может, самой точки $x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

Если производная ${f}'$ меняет знак с “-” на “+” при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $0$ и $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)>$ $0$ , то $x_{0}$ – точка строго минимума функции $f(x).$
Если производная ${f}'$ меняет знак с “+” на “-” при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $0$ и $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)<$ $0$ , то $x_{0}$ – точка строго максимума функции $f(x).$

Доказательство

Пусть, например, ${f}'$ меняет знак с “-” на “+”. Рассмотрим точку $x_{0}$ на сегменте $\left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $f(x)-f(x_{0})$ $={f}'(\xi)(x-x_{0})$ , $\xi \in (x;x_{0})$ . Поскольку при переходе через точку $x_{0}$ функция меняет знак с “-” на “+”, то ${f}'(\xi)<0$ и $x< x_{0}$ , то $x- x_{0}<0$ $f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $\left [ x_{0};x \right ]$ , получим
$f(x)-f(x_{0})>0$ $\Rightarrow$ $f(x_{0})< f(x)$ $\Rightarrow$ $x_{0}$ – точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $x_{0}$ – точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная ${f}' (x)$ меняет знак при переходе через точку $x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $f(x)$ , она определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , ее первая производная ${f}'(x_{0})=0$ и пусть $\exists {f}''(x_{0})$ , тогда:

Если ${f}''(x_{0})>0$ , то точка $x_{0}$ – точка строгого минимума;
Если ${f}''(x_{0})<0$ , то точка $x_{0}$ – точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда ${f}''(x_{0})>0$ . По скольку ${f}''(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$ , т.к ${f}''(x_{0})>0$ , то ${f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. ${f}'(x_{0})=0$ , значит ${f}'(x_{0})<0$ на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и ${f}'(x_{0})>0$ на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ .
Таким образом функция $f(x)$ убывает на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $\Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если ${f}'(x)=0$ и ${f}''(x)=0$ , то функция $f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $\exists f^{(n)}(x_{0})$ , $n> 2$ и ${f}'(x_{0})={f}''(x_{0})=...$ $=f^{(n-1)}(x_{0})=0$ , $f^{(n)}(x_{0})\neq 0.$ Тогда:

Если (т.е – четное), то – точка экстремума:
- если $f^{(n)}(x_{0})<0$ , то $x_{0}$ – точка локального максимума;
- если $f^{(n)}(x_{0})>0$ , то $x_{0}$ – точка локального минимума;
Если $n=2k+1$ (т.е $n$ – нечетное), то $x_{0}$ – не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $f(x)=f(x_{0})+$ $\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+... +$ $\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$ .
По скольку все производные до $(n-1)$ порядка включительно равны нулю получим: $f(x)-f(x_{0})=$ $\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.$ Запишем полученное выражение в виде: $f(x)-f(x_{0})=$ $\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-$ $x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]$ . Выражение $[1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$ . Пусть $n=2k$ $\Rightarrow$ $(x-x_{0}) ^{n}> 0$ , $\text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=$ $\text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})$ . Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $x_{0}$ зависит от четности $n$ . Последний факт и доказывает теорему.