Монотонность функции. Необходимые и достаточные признаки возрастания и убывания функции.

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется возрастающей в промежутке $\left(a;\; b\right)$ , если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары $x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right)$ таких, что $x_{1} >\; x_{2}$ справедливо неравенство $f\left(x_{1} \right)>\; f\left(x_{2} \right).$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется убывающей в промежутке $\left(a,\; b\right)$ , если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары $x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right)$ таких что $x_{1} >\; x_{2}$ справедливо $f\left(x_{1} \right)<\; f\left(x_{2} \right).$

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция $f\left(x\right)$ определена и дифференцируема в промежутке $\left(a;\; b\right)$ . Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке $\left(a;\; b\right)$ , достаточно, чтобы $f'\left(x\right)>0$ для всех $x\in \left(a,\; b\right)$

Для убывания функции достаточно, чтобы $f'\left(x\right)<0$ для всех $x\in \left(a,\; b\right).$

Для исследования функции $f\left(x\right)$ на монотонность необходимо:

найти её производную $f'\left(x\right)$ ;
найти критические точки функции как решения уравнения $f'\left(x\right)=0$ ;
определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.