Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0.
Доказательство:
1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, œх Î (a, b);
2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0.
Теорема доказана.
Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию 
Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:
Следовательно:
.
Теорема доказана.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
(2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = xполучаем формулу (2).
Теорема доказана.
Теорема Ферма:
Пусть функция 
определена на 
и достигает своего наибольшего и наименьшего значения (M и m) в некоторой 
из . Если существует производная в , то она обязательно равна 0.
Доказательство:
Существует 
. Возможны два случая:
1)
, => 
, =>
.
2)
, => 
, =>
.
Из 1) и 2) следует, что 
Теорема Ролля (о корнях производной):
Пусть функция непрерывна на 
и дифференцируема на и на концах отрезка принимает одинаковые значения: 
. Тогда существует хотя бы одна точка из , производная в которой .
Доказательство:
Непрерывная достигает на M и m. Тогда возможны два случая:
1)
, =>
2) 
наибольшее значение достигается внутри интервала 
по теореме Ферма.
Теорема Лангража (о конечных приращениях):
Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда существует хотя бы одна из , для которой выполняется следующее равенство: 
.
Доказательство:
Введем функцию 
. (непрерывная на и дифференцируемая на ).
,
Функция 
удовлетворяет Теореме Ролля 
существует 
, для которой: 
, 
,
,
.
Теорема Коши:
Пусть функции и 
непрерывны на и дифференцируемы на , 
на . Тогда существует хотя бы одна внутренняя точка , для которой выполняется равенство 
.
Доказательство:
Введем функцию 
. (непрерывная на и дифференцируемая на ).
Функция удовлетворяет Теореме Ролля существует , для которой: , 
,
,
.
