Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть
Дифференциалы высших порядков
Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.
Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.
Случай независимой переменной
Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции
где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению
Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка
Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:
Итак,
Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:
Случай зависимой переменной
Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда
где в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции берем как дифференциал от произведения