Пусть функция задана параметрически:
.
Найдем первую производную функции по переменной , то есть
.
Т.е. .
Найдем вторую производную от функции по переменной . Прямое дифференцирование функции возможно только по параметру и даст в результате смешанную производную . Поэтому для нахождения второй производной от функции по переменной предварительно представим ее в виде:
Тогда .
Аналогично находится третья производная:
и производные высших порядков.
Дифференцирование неявно заданных функции
Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество
.
Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны
.
Разность также равна нулю:
.
Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
.
Разделим последнее равенство на :
.
Откуда
.
Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:
.
Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.
Например, для функции справедливо:
, .