пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Производная функция одной переменной. Физический смысл производной. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

 

Определение.Производной функции image002.gif в точке image023.gif называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

image025.gif .

Определение.Функция image002.gif , имеющая производную в каждой точке интервала image004.gif , называется дифференцируемой в этом интервале.

Определение.Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции image002.gif в точке image030.gif обозначается одним из символов: image032.gif .

Если функция image002.gif описывает какой-либо физический процесс, то производная image060.gif есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.Рассмотрим график непрерывной кривой image062.gif , имеющий в точке image064.gif невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент image066.gif , где image068.gif - угол касательной с осью image070.gif . Для этого проведем через точку image072.gif и image074.gif графика секущую (рисунок 1).

image080.gif Обозначим через image082.gif - угол между секущей image084.gif и осью image086.gif . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

image088.gif .

При image090.gif в силу непрерывности функции приращение image092.gif тоже стремится к нулю; поэтому точка image094.gif неограниченно приближается по кривой к точке image096.gif , а секущая image098.gif , поворачиваясь около точки image096.gif , переходит в касательную. Угол image101.gif , т.е. image103.gif . Следовательно, image105.gif , поэтому угловой коэффициент касательной равен image107.gif .

Угловой коэффициент касательной к кривой

image109.gif . Это равенство перепишем в виде: image111.gif , т.е. производная image113.gif в точке image036.gif равна угловому коэффициенту касательной к графику функции image062.gif в точке, абсцисса которой равна image117.gif . В этом заключается геометрический смысл производной.

 

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательнойв точке x0. Из определения производной:

y/(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(xx)−f(x).


Уравнение касательнойк графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательнойзаписывается в виде: yf(x0)=f/(x0)(xx0) , или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.

image412.jpg


Уравнение нормали

Нормаль-- это перпендикуляр к касательной(см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)


Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).


Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:

yf(x0)=−1f/(x0)(xx0).


20.01.2017; 02:08
хиты: 459
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь