Теорема 1. Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.
Теорема 2. Если функция имеет предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Теорема 3. Если функция имеет предел в точке , то существует проколотая окрестность точки, в которой функция имеет знак, совпадающий со знаком предела.
Теорема 4. Если и в некоторой проколотой окрестности точки имеют место неравенства , то .
Теорема 5. Пусть функции и имеют предел в точке . Тогда справедливы формулы:
1), где С=const;
2)
3)
4)
Замечание 1. Формулы суммы и произведения обобщаются на любое конечное число множителей. Если использовать их для бесконечного количества множителей, то может возникнуть ошибка.
Замечание 2. Если в результате применения формул 1) – 4) приходим к выражениям типа
которые называют неопределенностями, то следует вначале устранить неопределенность, сделав тождественные преобразования.
Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы
ТЕОРЕМА (о единственности предела)
Пусть произвольная функция определена в некоторой
окрестности точки , .
Тогда если функция при имеет конечный предел, то он единственный, т.е.
; .
Доказательство методом от противного
Предположим . Тогда
,
в частности и при ;
,
в частности и при .
Отсюда на имеем
– неверное числовое неравенство.
Вывод: предположение о существовании не единственного
предела – ложное. Теорема доказана.
Частный случай (для последовательности)
.
Если предположить наличие двух различных пределов, то можно указать непересекающиеся окрест-ности этих пределов, в которые должны попадать одновременно ВСЕ
члены последовательности, начиная с некоторого.
ТЕОРЕМА (о локальной ограниченности функции, имеющей
при конечный предел)
: ,
т.е. если функция при имеет конечный предел, то существует окрестность точки , на которой множество значений функции есть ограниченное числовое множество.
Доказательство. Поскольку к.ч., то для любого , в том числе для , существует так, что для , т.е. , где или .
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если функция локально ограничена на , то необязательно существует и равен конечному значению.
Контрпример. Функция имеет множество значений – ограниченное множество в любой окрестности точки , но не существует.
Заметим, что функция, имеющая в точке конечный предел, а значит, локально ограниченная в окрестности этой точки, может быть неограниченной на своей области существования. Например, , для .
Функция бесконечно большая при является неограниченной в любой окрестности . Обратное неверно, т.е. неограниченная в функция не обязательно бесконечно большая при . Например, .
Частный случай (для последовательности):
всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, т.е.
Контрпример. – ограниченная последователь-ность, но не является сходящейся, поскольку ее подпосле-довательности и сходятся к несовпадающим пределам.
Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).
Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.
ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в равенстве)
Если на и существует , то существует и .
ПРИМЕР. Поскольку для и , то .
ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)
Если или на и существуют – к.ч. и – к.ч., то .
Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.
ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)
Если существуют пределы и и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .
Доказательство. Имеем
,
в частности, при : , т.е. . Аналогично
,
в частности, при , т.е. или .
Поскольку при , то на пересечении окрестностей имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.
Следствие. Если – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .
ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)
Если на и существуют и и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.
Доказательство рекомендуем построить самостоятельно,
используя определение предела по Коши для функций и при .
ТЕОРЕМА (об арифметике функций, имеющих конечный предел в одной и той же точке)
Пусть функции и при имеют конечные пределы, т.е. , , и – конечные числа.
Тогда при имеет конечный предел каждая из функций:
1) ; 2) ; 3) (при ).
Доказательство. 1. Операция сложения функций определяется поточечно. Утверждение верно для произвольного конечного
множества функции. Здесь рассматривается сумма двух функций.
Имеем , т.е. для всякого (в частности, для ) существует так, что .
Аналогично ()(,).
Рассмотрим и оценим:
на .
Итак, , т.е. по определению предела – конечное
число, причем предел СУММЫ функций равен СУММЕ пределов слагаемых функций, если предел каждой слагаемой функции – конечное число.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существование конечного предела суммы функций не определяет существование предела каждого слагаемого.
Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде и , и пределы слагаемых при не являются конечными числами (не существуют).
2. Представим
.
Имеем – конечное число, поэтому – локально ограничена, т.е. .
Исходя из определения конечного предела при имеем также .
При оценивать второе слагаемое в представлении не
требуется. При расшифруем
.
Получаем на окрестности , и по определению предела
.
Итак, предел ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций равен ПРОИЗВЕДЕНИЮ пределов функций, если предел каждой функции в произведении – конечное число.
Обратное утверждение неверно.
Контрпример. Пусть , , тогда . Но произведение функций может быть представлено сомножителями неоднозначно, например и , и тогда предел сомножителя не является конечным.