пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Геометрическая интерпритация.

Определение 1. Пусть функция image128.gifопределена на множестве image004.gifи image492.gif- его точка сгущения. Функция image030.gifназывается бесконечно малой при image034.gifесли image495.gif.

 

Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.

Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при image056.gifфункций есть бесконечно малая при image056.gifфункция.

Теорема 2.Произведение бесконечно малой при image056.gifфункции image030.gifи ограниченной в окрестности точки image010.gifфункции image130.gifявляется бесконечно малой при image056.gifфункцией.

Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция image501.gifограничена на множестве image273.gif, где image008.gif– некоторая окрестность точки image020.gif, которая является точкой сгущения множества image082.gif(это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции image030.gif).

С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).

Определение 2.Пусть image504.gif– точка сгущения множества image082.gif. Функция image128.gifназывается бесконечно большой при image034.gif, если image507.gif.

Теорема 3(о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть image508.gif- точка сгущения множества image174.gifи image510.gifна image082.gif(или, хотя бы, в некоторой окрестности точки image010.gif). Тогда

1) если image030.gif– бесконечно малая при image056.gifфункция, то image512.gif– бесконечно большая при image056.gifфункция;

2) если же image030.gif– бесконечно большая при image056.gifфункция, то image513.gif– бесконечно малая при image056.gifфункция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное image515.gifи положим image517.gif. Так как image518.gif, то найдется такая окрестность image008.gifточки image020.gif, что

image520.gif

и, следовательно, image522.gif. В силу произвольности image523.gifэто и означает, что image513.gif– бесконечно большая при image056.gifфункция.

2) Возьмем произвольное image036.gifи положим image526.gif. Поскольку image527.gif, то найдется такая окрестность image012.gifточки image020.gif, что

image529.gif,

Поэтому image531.gif, т.е. то image513.gif– бесконечно малая при image056.gifфункция □

§6. Символы «о» и «О». Эквивалентные приimage056.gifфункции.

Пусть функции image128.gifи image130.gifопределены на множестве image004.gifи image445.gif– точка сгущения множества image082.gif. Пусть также в некоторой проколотой окрестности image536.gifточки image010.gifфункция image170.gifотлична от нуля (точнее, image538.gif). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция image030.gif.

Определения: 1. Если

image540.gif,

то говорят, что функция image030.gifесть о-малое от функции image170.gifпри image034.gif, и пишут

image543.gifпри image056.gif.

2.Если функция image545.gifограничена в некоторой проколотой окрестности image547.gifточки image020.gif, т.е. если она ограничена на множестве image549.gif, то говорят, что функция image030.gifесть о-большое от функции image170.gifпри image056.gif, и пишут

image551.gifпри image056.gif.

3. Говорят, что функции image030.gifи image170.gifодного порядка при image056.gif, если

image552.gifи image554.gifпри image056.gif.

 

4.Говорят, что функции image030.gifи image170.gifасимптотически равны при image056.gif, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}.


20.01.2017; 06:15
хиты: 65
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь