пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Предел функции. Геометрическая интерпритация. Второе определение предела функции.

Конечный предел функции при image098.gif . Пусть функция image100.gif определена в проколотой окрестности точки image102.gif , т. е. на множестве image104.gifimage106.gif . В точке image102.gif значение image108.gif может быть не определено.

Дадим определение конечного предела функции при image098.gif на языке « image044.gifimage112.gif » (по Коши).

Определение. Число image114.gif называется пределом функции image058.gif в точке image102.gif (или при image098.gif ), если для image116.gif >0 можно указать такое число image112.gif ( image044.gif )>0, что при всех image010.gif , удовлетворяющих условию image119.gif , выполняется неравенство image121.gif , или, в более краткой записи: image123.gif

В определении используются понятия image044.gif -окрестности и проколотой image112.gif -окрестности, поэтому его и называют определением на языке « image044.gifimage112.gif » и кратко записывают так:

image126.gif

Геометрическая интерпретация определения конечного предела функции по Коши дана на рисунке.

image135.gif

Из рисунка видно, что image137.gif отображается функцией в image139.gif , т. е. любому image010.gif из проколотой image112.gif -окрестности точки image102.gif соответствует значение image100.gif , попадающее в image044.gif -окрестность точки image114.gif .

Односторонние пределы функции. При рассмотрении конечного предела функции при image098.gif предполагалось, что точка image010.gif , прибли­жаясь к image102.gif , могла оставаться как слева, так и справа от нее.

Иногда приходится рассматривать предел функции image100.gif при усло­вии, что точка image010.gif , приближаясь к точке image102.gif , остается либо правее, либо левее ее.

Введем понятие левой и правой окрестностей точки image102.gif .

Определение. Левой image112.gif -окрестностью точки image102.gif (обозначается image144.gif ) назы­вается множество всех image010.gif , удовлетворяющих неравенству

0b image102.gif

image102.gif

image010.gif < image112.gif .

 

Т.е. image144.gif = { image010.gif | 0b image102.gif

image102.gif

image010.gif < image112.gif }.

 

Проколотая левая image112.gif -окрестность получается «выкалы­ванием» из image112.gif -окрестности точки image102.gif ,

image147.gif = { image010.gif | 0< image102.gif

image102.gif

image010.gif < image112.gif }.

 

Аналогично определяется и правая image112.gif -окрестность.

Определение. Число image114.gif называется левым пределом (левосторонним пределом или пределом слева) функции image058.gif в точке image102.gif , если для любого image116.gif > 0 существует image112.gif = image112.gif ( image044.gif )>0, такое, что для image150.gifimage147.gifimage152.gif

Обозначают предел слева image154.gif .

Аналогично определяется правый предел image156.gif функции image100.gif в точке image102.gif .

Замечание. Если в точке image102.gif функция image100.gif имеет конечные правый и левый пределы и они равны между собой, то это число является пределом функции в точке image102.gif :

image114.gif = image158.gifimage160.gifimage154.gif = image156.gif = image114.gif .

Конечный предел функции при image162.gifimage164.gif ¥.

Определение. Число image114.gif называется пределом функции image058.gif при image162.gif +¥ , если для любого image044.gif >0 существует положи­тельное число image166.gif , такое, что неравенство image121.gif выполняется для всех image010.gif , при которых image010.gif > image166.gif .

Аналогично определяетcя предел и при image162.gif –¥

Множество { image010.gif | image010.gif > image166.gif } = image168.gif (+¥) называют image112.gif -окрестностью беско­нечно удаленной точки.

Бесконечные пределы функции при image098.gif . Рассмотрим случай, когда функция image058.gif при image098.gif по абсолютной величине неогра­ниченно возрастает. Такая функция не имеет конечного предела, поэтому необходимо обобщить понятие предела функции.

Определение.Предел функции image058.gif при image098.gif назы­вается бесконечным, если для лю­бого положительного числа image170.gifimage166.gif >0 су­ществует число image112.gif > 0, такое, что для всех значений image010.gif , удовлетво­ряющих неравенству image119.gif , будет выполняться не­равенство | image100.gif | > image166.gif .

Если image100.gif стремится к беско­нечности при image098.gif , то ее называют бесконечно большой функци­ей и пишут

image158.gif

Если image100.gif стремится к бесконечности при image098.gif и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, пишут соответственно:

image158.gif =+¥ или image158.gif =–¥

Бесконечный предел функции при image162.gifimage164.gif ¥.

Определение.Предел функции image058.gif при image162.gif +¥ (или image162.gif –¥) называется бесконечным, если для любого сколь угодно большого числа image166.gif найдется такое число image173.gif > 0, что нера­венство | image100.gif | > image166.gif выполняется для любого image010.gif , для которого | image010.gif | > image173.gif :

image176.gifimage178.gif

 

.

Два определения предела функции и их эквивалентность.

а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке index_html_2e6193c7.gif, если эта функция определена в некоторой окрестности точки index_html_2e6193c7.gif, за исключением, быть может, самой точки index_html_2e6193c7.gif,и для каждого index_html_51ece8be.gif найдется число index_html_m72d6dc37.gifтакое, что для всех x, удовлетворяющих условию index_html_m3f0b713.gif , выполняется неравенство index_html_1063e2ec.gif. В этом случае пишут index_html_1da250c2.gif или index_html_4c16d5f0.gif при index_html_6c5fd405.gif.

index_html_m1ad6a2be.gifindex_html_m1edba3e2.gifindex_html_m7d1a8b34.gif

или, используя понятие окрестности, в виде

index_html_m1ad6a2be.gifindex_html_me038169.gifindex_html_me64676c.gif.

Таким образом, число А есть предел функции f(x) в точке index_html_2e6193c7.gif, если для любой index_html_60ef3a95.gif-окрестности числа А можно найти такую проколотую index_html_m20dd7171.gif-окрестность точки index_html_2e6193c7.gif, что для всех x, принадлежащих этой index_html_m20dd7171.gif-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в index_html_60ef3a95.gif-окрестности числа А.

б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке index_html_2e6193c7.gif, если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки index_html_2e6193c7.gif, т.е. index_html_m69511d30.gif, и для любой последовательности index_html_m141cac87.gif, сходящейся к index_html_2e6193c7.gif и такой, что index_html_5e2bbea1.gifдля всех index_html_m588c3ef6.gif, N-натуральные числа, соответствующая последовательность значений функции index_html_593a50b1.gif сходится к числу А.

в) Эквивалентность двух определений предела.

Теорема. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

В определениях предела функции f(x) по Коши и по Гейне предполагается, что функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки index_html_2e6193c7.gif, т.е. существует число index_html_7c209ee9.gif такое, что index_html_6b68001f.gif.

а) Пусть число А есть предел функции f в точке index_html_2e6193c7.gif по Коши; тогда index_html_m5ac8978.gifи

index_html_m4606ec90.gifindex_html_m6eb46cf0.gif(A). (1)

Рассмотрим произвольную последовательность index_html_m141cac87.gif, сходящуюся к числу index_html_2e6193c7.gif и такую, что index_html_5e2bbea1.gifдля всех index_html_m588c3ef6.gif, N-натуральные числа. Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа index_html_3e1412.gif можно указать номер index_html_m3827cb8e.gif такой, что index_html_m49bcef34.gif, откуда в силу условия (1) следует, что index_html_m2c5bc875.gif. Таким образом, index_html_m4606ec90.gifindex_html_m6eb46cf0.gif(A), (2), где image001.gif, причем усл-е (2) выполняется для любой посл-ти {Xn}

такой, что index_html_18b760a4.gif и index_html_1fa6d615.gif. Следовательно, index_html_m20ba12b6.gif, т.е. число А – предел функции f(x) в точке index_html_2e6193c7.gif по Гейне.

б) Докажем, что если число А есть предел функции f(x) в точке index_html_2e6193c7.gif по Гейне, то это же число является пределом функции f по Коши, т.е. выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. Тогда index_html_m4606ec90.gifindex_html_m4de2b1ec.gifindex_html_188f18ff.gif. (3)

 

Согласно (3) в качестве index_html_m20dd7171.gif можно взять любое число из полуинтервала index_html_ma328f1c.gif. Возьмем index_html_5f754ee5.gif, где index_html_m588c3ef6.gif, N-натуральные числа, и обозначим index_html_6dfcc06.gif. Тогда в силу (3) для любого index_html_m588c3ef6.gif, N-натуральные числа, выполняются неравенства

index_html_m474a1f6d.gif, (4)

index_html_m6a21455a.gif. (5)

Из (4) следует, что index_html_3969e866.gif и index_html_me7cd874.gifпри всех index_html_m588c3ef6.gif, а из (5) заключаем, что число А не может быть пределом последовательности index_html_593a50b1.gif. Следовательно, число А не является пределом функции f в точке index_html_2e6193c7.gif по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1).


20.01.2017; 00:11
хиты: 89
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь