Окрестности собственных и несобственных точек. Предельные точки множеств.

Несобственные точки числовой прямой.         Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (-∞, +∞, ∞), которые определим через систему их окрестностей.
        Определения.
        3.3.1. Несобственной точкой -∞ будем называть объект, К-окрестность которого - множество U_K(-∞) ={x| x < K}.
        Для ∀у ∈ R выполняется -∞ < у.
        3.3.2. Несобственной точкой +∞ будем называть объект, К-окрестность которого - множество U_K(+∞) ={x| x > K}.
        Для ∀у ∈ R выполняется у < +∞.
        3.3.3. Несобственной точкой ∞ будем называть объект, К-окрестность которого - множество U_K(∞) ={x| |x| > K} = U_K(-∞)∪U_K(+∞).

Предельная точка

1. Предельная точка множества. Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.

Оказывается, в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек множества М. Сама же предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству М.

2. Предельная точка числовой последовательности. Так называют (если он существует) частичный предел последовательности {x_n} т.е. такое число с, что существует подпоследовательность {x_{n_k}} данной последовательности, для которой

Определение 1. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

Определение 2. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если в любой e-окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны.

В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {x_n} по первому определению, тогда существует подпоследовательность ® a, и в любой e-окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.

Пусть {x_n} - числовая последовательность, и пусть k₁, k₂ , … , k_n , … - возрастающая последовательность, элементами которой являются натуральные числа. Выберем из последовательности {x_n} элементы с номерами k₁, k₂ , … , k_n , … , получим вот такую последовательность: , она называется подпоследовательностью последовательности {x_n}. Отметим, что k_n ³ n. Примеры подпоследовательностей:

1) {x₂_n} = x₂ , x₄ , … , x₂_n , …

2) = x₁ , x₃ , x₇ , x₁₃ , …

3) {x_n} - сама последовательность.

Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть . Число называется предельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x₀ содержит точку из множества X, отличную от x₀. Сама точка x₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Точка , не являющаяся предельной точкой множества X, называется изолированной точкой множества X, т. е.

Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)

ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - .

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<.

>0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо.

limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции.

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если $a\leqslant b,\,a\in R,\, b\in R$ , то множество $\{x: a\leqslant x\leqslant b\}$ называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через $[a,\;b]$ , то есть

$[a, b]\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a\leqslant x\leqslant b\}, a\in \overline{R}, b\in \overline{R} .$

В случае $a\,=\,b$ отрезок $[a\,,\, b]$ состоит из одной точки.

Если $a\,<\, b$ , то множество $\{x \;: \;a< x< b\}$ называется интервалом и обозначается через $(a,\, b)$ , т.е.

$(a, b)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x: a< x< b\}.$

Интервал $(a,\, b)$ называется внутренностью отрезка $[a,\, b].$

Множества  и  называются полуинтервалами.

Отрезки $[a,\, b]$ , интервалы $(a,\, b)$ и полуинтервалы $[a,\, b), \,(a,\, b]$ называются промежутками, а точки a и b - их концами: a - левым концом, а b - правым, а точки x такие, что $a<\, x <\,b,$ - их внутренними точками.

Если a и b конечны, т.е. $a\in R,\, b\in R,$ то промежуток с концами a и b называется также конечным промежутком, а число b ? a - его длиной. Если хотя бы одно из a и b является бесконечным, то промежуток с концами a и b называется бесконечным.

Замечание 1. Промежутки всех типов расширенной числовой прямой обладают следующим свойством:  если точки 
принадлежат некоторому промежутку с концами  и  то и весь отрезок  принадлежит этому промежутку.

Для промежутка каждого типа это непосредственно следует из его определения.

Важным понятием для дальнейшего является понятие $\varepsilon$ - окрестности точки расширенной числовой прямой. В случае $a\in R,$ т.е. когда a является действительным числом, $\varepsilon$ - окрестностью $U(a,\, \varepsilon),$ ^[1] $\varepsilon > 0,$ а числа a называется интервал $(a-\varepsilon,\, a+\varepsilon):$

$U(a, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}(a-\varepsilon,\, a+\varepsilon).$

Если же $a=+\infty,$ то

а если $a=-\infty,$ то

Таким образом, во всех случаях, т.е. когда a - действительно число и когда a - одна из бесконечностей $+\infty,\, -\infty,$ при уменьшении числа $\varepsilon$ соответствующие $\varepsilon$ - окрестности $U(a,\,\varepsilon)$ уменьшаются: если $0<\varepsilon_1<\varepsilon_2,$ то $U(a,\, \varepsilon_1)\subset U(a,\, \varepsilon_2).$

Иногда бывает удобно пополнить множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) $\infty.$ Ее $\varepsilon$ - окрестность $U(\infty,\,\varepsilon),\, \varepsilon>0,$ определяется равенством

$U(\infty,\, \varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\{ x: x\in R,\, |x| > {1\over \varepsilon} \right\}\, U\{\infty \}.$

Иначе говоря, $\varepsilon$ - окрестность $U(\infty,\,\varepsilon)$ состоит из двух бесконечных интервалов $(-\infty,\,-{1\over \varepsilon}),\, ({1\over \varepsilon},\,+\infty,)$ и самого элемента $\infty.$ Этот элемент также называется иногда бесконечно удаленной точкой числовой прямой. В отличие от бесконечностей со знаком $+\infty$ и $-\infty$ бесконечность $\infty$ без знака не связана с действительными числами отношением порядка.

Всякая $\varepsilon$ - окрестность конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой называется ее окрестностью и часто обозначается просто через U(a). Иногда мы будем обозначать окрестность и другими буквами, например V, W.

Нередко с определенными выше окрестностями бесконечностей в пополнениях ими множества действительных чисел иногда рассматривают и окрестности бесконечностей $\infty,\,+ \infty$ и $-\infty$ в самом множестве действительных чисел: $U(\infty)\cap R,\, U(+\infty) \cap R$ и $U(-\infty)\cap R.$ Сами бесконечности, конечно, уже не попадают в эти окрестности.

 Лемма
У любых двух различных точек расширенной числовой прямой (расширенной с помощью двух бесконечностей со знаком или при помощи  
только одной бесконечности без знака) существуют непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай расширенной числовой прямой R, полученной добавлением к множеству действительных чисел R двух бесконечностей со знаком. Покажем, что для любых $a\in R$ и $b \in R,\, a < b,$ существуют такие $\varepsilon_1>0$ и $\varepsilon_2>0,$ что $U(a,\,\varepsilon_1)\cap U(b,\, \varepsilon_2) = \varnothing.$ В самом деле, если a и b - действительные числа, то можно взять $\varepsilon_1=\varepsilon_2={{b-a}\over 2}$ (рис. 1, а)^[2] Если a - действительное число, а $b=+\infty$ , то в качестве указанных $\varepsilon_1> 0$ и $\varepsilon_2> 0$ подходят, например, $\varepsilon_1=1$ и $\varepsilon_2={1\over{|a|+1}}$ (рис. 1, б). Если $a=-\infty, b$ - действительное число, то можно взять $\varepsilon_1={1\over{|b|+1}},\, \varepsilon_2=1$ (рис. 1, в). Наконец, если $a=-\infty, b=+\infty,$ то при произвольном $\varepsilon > 0$ окрестности $U(-\infty,\,\varepsilon)$ и $U(+\infty,\,\varepsilon)$ не пересекаются (рис. 1, г). Если же числовая прямая R дополнена лишь одной бесконечностью $\infty$ , то достаточно рассмотреть лишь случай $a\in R$ и $b=\infty$ (так как случай $a\in R$ и $b\in R$ рассмотрен выше), в котором можно снова (как при $a\in R,\,b=+\infty$ ) взять $\varepsilon_1=1$ , а $\varepsilon_2={1\over{|a|+1}}.$

Замечание 2. В случае   и их непересекающихся окрестностей  
для любых  и  очевидно, справедливо неравенство

Его справедливость устанавливается непосредственной проверкой во всех возможных здесь случаях, т.е. при $a\in R, b\in R,$ при $a\in R,\,b=+\infty,$ при $a=-\infty, b\in R$ и при $a=-\infty, b=+\infty.$ Легко убедиться, что пересечение двух окрестностей точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки.