· Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
· Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
· Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
· Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
· Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
· Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
· Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
· Если последовательность (xn) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn), которая является ограниченной.
· Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
· Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
· Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
· Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
· Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
· Любую сходящуюся последовательность (xn) можно представить в виде (xn) = (a + αn), где a — предел последовательности (xn), а αn — некоторая бесконечно малая последовательность.
· Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).
