Бесконечно большие последовательности.
Определение
Последовательность называется бесконечно большой, если , или .
Геометрическая интерпретация
Назовем -окрестностью точки множество .
Введем множества и . Назовем эти множества -окрестностями точек и соответственно. Тогда .
Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
- Если – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность , которая является бесконечно малой.
- Если все элементы бесконечно малой последовтельности отличны от нуля, то последовательность – бесконечно большая.
Доказательство.
- Пусть – бесконечно большая последовательность, т.е. . Это означает, что при все элементы , поэтому последовательность имеет смысл с номера .
Пусть – любое положительное число, тогда для числа , что по определению означает, что последовательность – бесконечно малая. - Второе доказательство проводится аналогично.
Свойства бесконечно больших последовательностей
- Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
- Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
- Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.
Доказательство.
- Пусть – бесконечно большие последовательности.
По определению:
и .
Тогда для последовательности :
, что означает, что последовательность – бесконечно большая. - Пусть последовательность – бесконечно большая, – ограниченная. Тогда по определению и .
Рассмотрим :
(используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Получили: , что означает, что последовательность – бесконечно большая. - Доказательство аналогично предыдущему.
- Пусть последовательность – бесконечно большая, – константа. Тогда по определению .
Рассмотрим :
(по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
– константа, – также константа, т.е. ограниченная.
, что означает, что последовательность – бесконечно большая.
(используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Определение бесконечно малой последовательности
Последовательность называется бесконечно малой, если , т.е. .
Геометрическая интерпретация
Свойства бесконечно малых последовательностей
- Бесконечно малая последовательность ограничена.
- Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
- Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .
Доказательство.
- Пусть – бесконечно малая последовательность, – некоторое положительное число. Пусть – номер, такой, что . Обозначим числом A. Получим:, что и означает, что последовательность ограничена.
- Пусть и – бесконечно малые последовательности. Пусть – произвольное положительное число, – номер, начиная с которого , а – номер, начиная с которого . Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей . Обозначим через наибольший из номеров < и . Получим: , что означает, что последовательность – бесконечно малая.
- Пусть последовательность – бесконечно малая, а – ограниченная. По определению, и . По свойству модулей, . Получили:, а это означает по определению, что последовательность — бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. - Пусть . Тогда для . По условию, , тогда . Получили противоречие, следовательно, .