пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число image384.gif называется пределом последовательности image385.gif, если для любого image387.gif существует номер image389.gif , зависящий от image391.gif такой, что для любого image393.gif выполняется неравенство image394.gif .

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые ирациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Определение

Число image396.gif называется пределом числовой последовательности image385.gif , если последовательность image397.gif является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

image398.gif

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа image384.gif , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

image399.gif

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

image400.gif

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

image401.gif

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела

 Числовая последовательность.

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image002.gif

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image004.gif (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image006.gif задается как функция целочисленного аргумента, http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image008.gif т.е. http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image010.gif .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image012.gif  существует число http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image014.gif , такое, что при http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image016.gif выполняется неравенство http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image018.gif . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image020.gif

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image022.gif

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image024.gif

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image026.gif

 если http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR1/1.9.files/image028.gif .

 


19.01.2017; 23:17
хиты: 81
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь