Понятие функции является одним из основных понятий современной математики. С этим понятием часто встречаются при изучении реальных процессов в природе, науке и технике. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.
Определение.Отображения 
, где 
будем называть (вещественной) функцией действительного переменного. 
- область определения-совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена.
- множество значений f или образ f.
Определение. Если каждому элементу х множества X ( 
) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y 
, то говорят, что на множестве X задана функция.
y=f(x), y=F(x)-функциональная зависимость х и у.
f, F - характеристики функции, х - независимая переменная (аргумент),
у - зависимая переменная.
Рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
1. Аналитический.
Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.
2. Табличный способ задания функции.
Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ задания функции.
Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями
Сложные функции.
Познакомимся с понятием суперпозиции функций, которое состоит в том, что в качестве аргумента одной функции используется другая функция. Полученная в результате суперпозиции функция называется сложной функцией. Записывается сложная функция следующим образом: 
. Например: 
, 
. Тогда сложная функция 
. Чтобы найти значение сложной функции, подставляют сначала заданное значение 
во внутреннюю функцию и находят ее значение 
, а затем уже вычисляют соответствующее значение функции 
.
При выполнении суперпозиции функций считают, что множество значений внутренней функции 
содержится в области определения внешней функции 
.
Сложную функцию можно составить из большего числа более простых функций
2. Классификация функций.
Элементарные функции разделяют на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называют функцию, в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действий.
К ним относятся:
- целая рациональная функция (многочлен, полином)
- дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов
- иррациональная функция (среди действий над аргументом есть извлечение корня).
К трансцендентнымотносятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Четные и нечетные функции.
Функция у = f(х) называется четной или нечетной, если она определена на множестве симметричном относительно нулевой точки и обладает на нем свойством f(-x)=f(x) или свойством f(-x)=-f(x). В противном случае функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной симметричен относительно начала координат.
Произведения двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, произведения четной функции на нечетную есть нечетная функция
Монотонные функции.
Пусть (a,b) промежуток с концами в точках a и b, где a<b.
Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a,b), если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть 
и 
.
Тогда функция возрастает на промежутке X, если 
(запись 
на (a,b)) и убывает, если 
(запись 
на (a,b)) (см. рис. 1).
Запись 
и 
Функции возрастающие и убывающие называется монотонными. К монотонным функциям относятся также неубывающие и невозрастающие функции.
Рис.1
Рис. 2.
Ограниченные функции.
Функция называется ограниченной на промежутке (a,b), если 
такое, что
.
В противном случае функция называется неограниченной.
Периодическая функция.
Функция называется периодической с периодом 
, если 
справедливо 
.
