Логическая сущность метода включения и исключения определяется тем, что он применяется к задаче разделения множеств на подмножества в зависимости от того, обладают ли их элементы определенной совокупностью свойств или нет.
Пусть дано n- множество 
некоторых элементов и к-множество свойств 
, которыми элементы могут как обладать, так и не обладать. выделим какую-либо r-выборку свойств 
. Число элементов 
обладающих всеми r выбранными свойствами, обозначим через 
. Отсутствие у элемента какого-либо свойства 
будем обозначать 
.
Найдем число элементов, не обладающих набором определенных свойств, начав с простых случаев:
1. Пусть имеется одно свойство 
, тогда 
.
2. Имеется конечное число свойств , несовместимых друг с другом. Тогда 
.
3. Элементы обладают комбинациями различных свойств. Тогда справедлива теорема.
Теорема3. Если даны n- множество элементов и к-множество свойств , 
, совместимых между собой, тогда
(20)
В левой части формулы может стоять не только 
, но и, например, 
. Теорема формулируется при этом относительно совокупности свойств 
и 
с обязательным выполнением свойств 
и 
следующим образом:
(21)
Пример. В комнате несколько человек, знающих хотя бы один из трех языков. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро – французский. Четверо знают английский и немецкий, трое – немецкий и французский, двое – французский и английский. Один человек знает все три языка. Сколько человек в комнате. сколько из них знают только английский язык.
Решение. Пусть свойство 
- знать английский язык; 
и 
- свойства, характеризующие знание немецкого и французского языков. По условию задачи общее число людей составляют все, знающие хотя бы один язык; не знающих хотя один язык в задаче нет. Тогда
+7-(4+3+2)+1=19-9+1=11.
Число людей, знающих только английский язык, это 
, по формуле (21) имеем
=
.
