3.1. Понятие разностной сетки
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:
 |
(2.13) |
Здесь u - функция двух независимых переменных:
 |
для которых задан интервал их изменения:
 |
 |
Введём двумерную систему координат, отложив по оси абсцисс независимую переменную х, а по оси ординат - независимую переменную t, и отметим на осях заданные интервалы изменения переменных х и t. Разобьём интервал [a; b] на некоторое количество равных частей и проведём из каждой точки деления прямую, перпендикулярную оси х. Выполним те же действия для интервала изменения другой независимой переменной. Тогда построенные прямые составят так называемую разностную сетку (см. рисунок). Точки пересечения проведённых прямых будем называть узлами разностной сетки, причём каждый из них будет соответствовать некоторым значениям независимых переменных х и t из заданных интервалов.
Введём следующие обозначения:
| j - порядковый номер точки деления по оси х; n - порядковый номер точки деления по оси t;  - величина интервала между точками по оси х;  - величина интервала между точками по оси t;  - значение функции u, соответствующее точкам tn, xj . |
Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом:
| по оси х - j = 1, 2, 3, ..., N; по оси t - n = 0, 1, 2, ..., M. |
Рассмотрим производные в уравнении (2.13) в точке 
на разностной сетке.
Для аппроксимации производной функции u по времени будем использовать правую конечную разность, стабилизируя при этом значение независимой переменной х в точке с порядковым номером j:
 |
Для аппроксимации второй производной функции u по координате будем использовать разностный оператор (2.12), стабилизируя при этом значение независимой переменной t в точке с порядковым номером n (или, иначе говоря, на n-ом шаге):
 |
Если подставить записанные конечные разности в исходное дифференциальное уравнение (2.13), получим соотношение, аппроксимирующее это дифференциальное уравнение в точке на разностной сетке, и называемое разностной схемой:
 |
(2.14) |
В записанной разностной схеме (2.14) аппроксимация второй производной функции u по координате рассматривается на n-ом шаге по времени, то есть относительно точки tn , для которой рассматривается аппроксимация всего уравнения. Такая разностная схема называется явной.
Однако аппроксимацию второй производной функции u по координате можно рассматривать и на (n + 1)-ом шаге по времени, в точке tn+1; такая разностная схема называется неявной:
 |
(2.15) |
Отметим, что если в состав свободного члена входит сама функция u, то её значение должно соответствовать n-му шагу по времени при составлении явной разностной схемы и (n + 1)-му шагу по времени при составлении неявной разностной схемы. Значение же переменной t, входящей в состав свободного члена, всегда берётся на n-ом шаге.
Схематическое изображение узлов разностной сетки, связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном. Разностный шаблон может служить хорошим ориентиром при выборе метода решения разностной схемы и составлении алгоритма решения. Разностные шаблоны для разностных схем (2.14) и (2.15) имеют вид:
| для явной разностной схемы | для неявной разностной схемы |
 |
 |
В дальнейшем мы неоднократно будем сопоставлять возможности и методы решения явных и неявных разностных схем для дифференциальных уравнений различного типа.
Мы ввели понятие разностной схемы путём составления её из отдельных разностных операторов. Напомним, что каждый разностный оператор имеет определённый порядок аппроксимации, характеризующий точность аппроксимации. Следовательно, разностная схема также будет иметь порядок аппроксимации, причём по каждой независимой переменной отдельно.
Определим порядок аппроксимации явной разностной схемы (2.14). Для этого запишем разложение значений 
в ряд Тейлора относительно точки 
на разностной сетке:
 |
(2.16) | |
 |
(2.17) | |
 |
(2.18) |
Подставляя зависимости (2.16)-(2.18) в разностную схему (2.14), получаем:
 |
Таким образом, явная разностная схема (2.14) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (2.13) с первым порядком по времени и со вторым порядком по координате, что записывается в следующем виде:
 |
Легко видеть, что и неявная разностная схема (2.15) имеет тот же порядок аппроксимации.
