пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Метод простой итерации

Пусть дана СЛАУ вида: {\displaystyle AX=B}, где:
{\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {X} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}

Предполагая, что a_{{ii}} не равно 0, {\displaystyle i={\overline {1,n}}}. Выразим x_{1} через первое уравнение, x_{2} — через второе и т. д.{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x_{1}={\frac {b_{1}}{a_{11}}}-{\frac {a_{12}}{a_{11}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{1n}}{a_{11}}}x_{n}\\\vdots \\x_{n}={\frac {b_{n}}{a_{nn}}}-{\frac {a_{n1}}{a_{nn}}}x_{1}-{\frac {a_{n2}}{a_{nn}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{n,n-1}}{a_{nn}}}x_{n-1}\end{array}}\right.}
Обозначим:

{\displaystyle {\frac {b_{i}}{a_{ii}}}=\beta _{i};-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}=\alpha _{ij}}{\displaystyle i={\overline {1,n}}}{\displaystyle j={\overline {1,n}}}
{\displaystyle \alpha ={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}};\qquad \beta ={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}}
В матричном виде получим: {\displaystyle X=\beta +\alpha x}

За нулевое приближение примем столбец свободных членов.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}} — нулевое приближение;

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}} — первое приближение;

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(2)}\\\vdots \\x_{n}^{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}} — второе приближение и т. д.;

{\displaystyle X^{(k)}=\beta +\alpha X^{(k-1)}},{\displaystyle k=1,2,\dots }

{\displaystyle X=\lim _{k\to \infty }X^{(k)}} — решение системы.

 


09.01.2017; 06:04
хиты: 48
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь