Порядок аппроксимации, устойчивость и сходимость разностных схем

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач.

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Пусть  u  есть решение дифференциального уравнения

    заданного в области D. Рассмотрим некоторое множество Dh состоящее из изолированных точек , принадлежащих замкнутой области . Число точек в  Dh  будем характеризовать величиной  h; чем меньше h, тем большим будет число точек в Dh. Множество Dh называется сеткой, а точки  Dh − узлами  сетки. 

Функция, определенная в узлах, называется  сеточной функцией.

Обозначим через  U  пространство непрерывных в  D  функций . Через Uh обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций  , определенных на  Dh. В методе сеток осуществляется замена пространства  U  на пространство  Uh.

Пусть   − точное решение уравнения (3.2) и  принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений . Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений равно числу точек в Dh. Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения , относительно которых можно думать, что

Величины  называются приближенными сеточными значениями решения . Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде

                                                                            (3.3)

где  Lh  есть разностный оператор, соответствующий оператору L,  Если  то  образуется по F аналогично тому, как Uh образовывалось по  U. Формулу (3) будем называть разностной схемой.

Пусть в линейных пространствах  Uh  и  Fh введены соответственно нормы , которые являются сеточными аналогами норм  в исходных пространствах.

Будем говорить, что разностная схема (3.3) является сходящейся, если при   выполняется условие

.

Если выполняется условие

,

где c − постоянная, не зависящая от  h  и  s>0, то говорят, что имеет место сходимость со  скоростью порядка  s  относительно шага  h.

Говорят, что разностная схема (3.3) аппроксимирует задачу (3.2) на решении  , если

Величина  называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если , где M − константа, не зависящая от h и , то говорят, что разностная схема (3.3) аппроксимирует задачу (3.2) на решении  с погрешностью порядка  относительно шага h.

Разностная схема (3.3) называется устойчивой, если существует такое , что для всех  и любых  выполняются условия:

1) разностная схема (3.3) имеет единственное решение;

2) где M − постоянная, не зависящая от  и.

Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, что отражается в следующей теореме.

Теорема

Пусть разностная схема  аппроксимирует задачу  на решении  с порядком  s  относительно h  и устойчива. Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, то есть будет справедлива оценка

                                                         (3.4)

где  k − постоянная, не зависящая от  h.

Доказательство.

По определению аппроксимации имеем

Обозначим . Легко видеть, что в силу линейности  Lh  для  имеет место формула

Отсюда, используя определение устойчивости, получим:

,

где . Таким образом, оценка (3.4) установлена и теорема доказана.