Значения параметров, получаемые с помощью методов численного решения дифференциальных уравнений, как правило несколько отличаются от их истинных значений из-за наличия ошибки аппроксимации. Поэтому алгоритмы решения уравнений математических моделей, изучаемые в данном пособии, могут оказаться непригодными, если уравнения модели содержат переменные, значения которых отличаются по порядкам. Так, погрешности при определении параметров, порядки которых велики, могут быть не значимы для них самих, но в то же время они будут сильно искажать значения параметров меньших порядков. Поэтому прежде чем перейти к созданию алгоритма для решения уравнений математической модели, необходимо привести эти уравнения к безразмерному виду, т.е. провести операцию обезразмеривания переменных, в результате которой все переменные математической модели будут иметь одинаковый порядок.
Обезразмеривание позволяет перейти от физических величин, которые могут иметь очень большие (модуль Юнга) или очень малые (постоянная Планка) по модулю значения к их безразмерным аналогам, которые порядка единиц и в крайнем случае десятков. Понятно что второй случай более предпочтителен в вычислительном плане, ибо при оперировании данными безразмерными величинами происходит гораздо более медленное накопление ошибки.
П-теорема:
Если дано физически значимое выражение:
где qi — это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физическихвеличин, то это выражение может быть переписано в виде:
где πi — это безразмерные параметры, полученные из qi при помощи p = n — k выражений следующего вида:
где показатели степеней mi — это рациональные числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Дана система из n разменных величин (физических величин) в k (физических) измерениях. Запишем матрицуM. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент (i, j) этой матрицысоответствует степени i-го множителя в формуле размерности j-й физической величины. Матрица может бытьпроинтерпретирована следующим образом: столбцу
соответствует запись: 
Очевидно, что безразмерным величинам соответствуют нулевые столбцы матрицы. Эти столбцы являютсялинейными комбинациями столбцов, соответствующих размерным величинам.
Как известно, любая система из n векторов в k-мерном линейном пространстве удовлетворяет системе из p = n — k отношений. И любой её базис будет состоять из p элементов, которым соответствуют безразмерныевеличины.
Безразмерные величины всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы быть целочисленной комбинациейразмерных величин. Это математический, иногда несамый лучший способ определения безразмерныхвеличин. Некоторые способы выбора безразмерных величин более физически значимы (например, имеютсмысл отношения характерных сил), и они должны использоваться в идеале.
