Для геометрического анализа меры влияния кривизны Земли на измерения горизонтальных расстояний на поверхности сфероида возьмём шар, равновеликий по объёму земному эллипсоиду, с радиусом R и в точке А проведём касательную АС.
Соединив прямой точку С с центром шара (окружности) О, на его поверхности получим точку В. Допустим, что на поверхности шара измерено расстояние АВ (d). Тогда центральный угол a будет равен в радианной мере . Если допустить, что на данном участке местности была измерена не кривая АВ, а прямая АС, то, видимо, в длине этих линий будет иметь место некоторое расхождение Dd = T- d.
В свою очередь, Т = Rtga и d = Ra или Dd = R(tga – a). Разложив тангенс в функциональный ряд и ограничившись двумя первыми членами его, получим
d = R(a + - a)
Так как измерения ведутся непосредственно на земной поверхности, то угол a следует заменить через d/R.
Если допустить, что длина линии АВ равна 10 км, а радиус шара 6371км, то величина искажения (Dd) в длине линии из-за неучтенного влияния кривизны Земли будет равно примерно 1 см. Величина Dd называется абсолютной погрешностью определения длины (d) данной линии.
Абсолютные погрешности линейных измерений слабо характеризуют их с качественной стороны. Действительно, например, абсолютная погрешность измерения какой-либо линии равна 20 см. Хорошо или грубо измерена данная линия? Без сравнения со всей измеряемой длиной на это ответить затруднительно. К примеру, измерялась длина стола и была допущена абсолютная погрешность в измерении 20 см. Как же может быть оценено данное измерение, если длина стола составила 1,5 м? Очевидно, что данное измерение выполнено очень грубо. С другой стороны, с такой же абсолютной погрешностью было измерено расстояние до Луны (300 000 км). В этом случае, какую оценку можно дать нашему измерению? Очевидно, как отличную. Поэтому линейные измерения характеризуются, как правило, относительными погрешностями то есть отношением абсолютной погрешности ко всей измеряемой длине
Относительная погрешность всегда выражается простой дробью, в числителе которой пишется единица, а в знаменателе число, полученное при делении всей длины на абсолютную погрешность.
В данном примере при измерении длины линии в 10 км под влиянием неучтённой кривизны Земли была допущена погрешность в 1 см.
Подставляя эти значения в формулу, получим относительную погрешность
По теории вероятности такая погрешность считается исчезающе малой величиной, а в геодезической практике её вообще не принимают во внимание.
Отсюда следует, что территория земной поверхности диаметром 20 км (10 км в одну сторону и 10 км в другую) может быть принята за плоскость.
Что касается влияния кривизны Земли на измерения вертикальных расстояний (Dh), то из анализа рис. 2 видно, приняв Dh за дугу радиуса d,
Dh = ad
Если допустить, что расстояние между точками А и В составляет всего лишь 1 км, то ошибка в вертикальной длине составит 8 см, а при расстоянии 3 км составит уже 71 см.
В инженерной практике ошибка в определении высот допускается на 1 км хода не более 2-5 см. Отсюда следует, что даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками не следует пренебрегать кривизной Земли.
