37 Вырожден системы част Темпер вырожденЭн Ферми

Система частиц называется вырожденной, если её свойства за счёт квантовых эффектов отличаются от свойств классических систем. Найдём критерии вырождения частиц. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна можно представить в следующем виде

 , (6)

где А=  - параметр вырождения. (7)

При А<<1  и ±1 в (6) можно пренебречь. В итоге получаем

 (8)

Это распределение Максвелла-Больцмана для классических систем ].Чем выше температура Т, тем меньше А и тем более классическим становится распределение частиц по энергиям (8).

Температура, при которой начинают проявляться квантовые эффекты, называется температурой вырождения  . Можно показать, что

 , (9)

где m и n - масса и концентрация частиц.

Таким образом, при Т<<T₀ газ вырожден и подчиняется квантовым статистикам. При  газ не вырожден и он подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

2)

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется прин­ципу Паули , согласно которо­му в одном состоянии не может быть двух одинаковых электронов, они до­лжны отличаться какой-то характеристи­кой, например направлением спина. Сле­довательно, по квантовой теории, электро­ны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне да­же при 0 К.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака Среднее число <N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов  среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из  следует, что при Т=0 К

380

 При E=₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей ₀, свободны. Следовательно, ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается Е_F (E_F=₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. 

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда на­ходится в состоянии сильного вырожде­ния. Температура Т₀ вырождения  находится из условия kT₀=E_F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть су­щественными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T₀10⁴ К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) вокрестности Е_F (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распреде­ления при T=0К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к E_F, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при E<E_F заполнение электрона­ми меньше единицы, а при E>E_F — боль­ше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, напри­мер при комнатной температуре Т 300 К и температуре вырождения T₀=3•10⁴ К,— это 10^-5 от общего числа электронов.

Если (Е-E_F)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в знаменате­ле (236.2) можно пренебречь по сравне­нию с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределе­ние Максвелла — Больцмана. Таким об­разом, при (E-E_F}>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E-E_F)<<kT, к ним при­менима только квантовая статистика Фер­ми — Дирака.